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1、THE_niliRI3空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法(二)空间向量与垂直关系【学习目标】1能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有 关定理.u问题导学知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线1的方向向量为“=(1，3, 2),直线12的方向向量为“2=(1，1，1)，那么 两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案11与12垂直，因为“*“2=13 + 2 = 0,所以“丄“2,又“,“2是两直线的方向向量， 所以11与12垂直.判断两条直线是否垂直
2、的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量AB与CD的坐标，若ABCd=o，则两直线垂直，否则不垂直. (2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理 设直线1的方向向量为a = (a1，a2, a3),直线m的方向向量为b = (b1，b2, b3),则1丄m知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线1的方向向量为“=(2，3，J，平面a的法向量为“2=(3，2，2)，则直线1与平面a的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？2答案垂直，因为“=3“2，所以“彳见，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线1与平面a垂
3、直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1) 直线1的方向向量与平面a的法向量共线31丄a.(2) 直线的方向向量与平面的法向量垂直3直线与平面平行或直线在平面内.(3) 直线1的方向向量与平面a内的两相交直线的方向向量垂直31丄a.梳理 设直线1的方向向量a = (a1,耳，c”，平面a的法向量“ = (a2，b2，c2),则1丄aa“少a = k（kWR）.知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面a, B的法向量分别为“=（X，y，Z）, “2=（x2，y2，z2），用向量坐标法表示两 平面a, B垂直的关系式是什么？答案 叫七+丁理+勺勺二0.梳理若平面a的法向量为“ =, b, c）,平面
4、B的法向量为v = （a2，b2，c2）,则a丄 少“丄卩少“v = 0少2十幺2 + b”2 + cc2 = 0.题型探究类型一 证明线线垂直例1已知正三棱柱ABC-A1BC的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC 上的点，且CN=4cC.求证：ABMN.证明 设AB中点为O,作OOAA.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A（-，0，0），B（2，0，0），C（0，0），No，4），B1（2，0，1M为BC中点,，04）,码=（1，o, i）,.MN. Ab1=-1 + 0 + 1 = 0.:.MN丄AB” . AB 1 丄
5、 MN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系f写出点的坐标f求直线的 方向向量f证明向量垂直f得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3, BC=4, AB=5, AA1=4,求证: AC 丄 BC.证明直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3, BC = 4, AB = 5, .AC、BC、C1C 两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1的中点.因为ABC为正三角形，所以AO丄BC.则 C（0， 0， 0
6、）， A（3， 0， 0）， C1（0， 0， 4）， B（0， 4， 0）VAC = （-3, 0, 0）, BC1 = （0,-4, 4）, .Ab BC1 = 0.AAC 丄 BC.类型二 证明线面垂直例2求证：AB丄平面A1BD.证明 如图所示，取BC的中点O,连接AO.因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCC&,所以AO丄平面BCC1B1.取B1C1的中点O,以O为原点，以OB, OO, OA分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(- 1，1，0)，A,(0, 2,5)，A(0, 0，；3)，B,(1，2，0). 所以历=(1
7、, 2,-/3), BA1 = (- 1, 2,3), BD = (-2, 1, 0).因为 AS. B2 = 1X(- 1) + 2X2 + (-)Xi；3 = 0.AB. BBD= 1X(-2) + 2X1 + (-;3)X0 = 0.所以AB丄BA, AS丄BD,即 AB丄BA, AB丄BD.又因为BAHBD = B,所以AB丄平面ABD.反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2) 将直线的方向向量用坐标表示.(3) 找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4) 分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐
8、标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3) 求出平面的法向量.(4) 判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=1, AA = 2,点P为DD的 中点.求证：直线PB丄平面P4C.D|AII证明 如图建系，C（，0， 0），A（0，0），P（0，0， ）， B（， ， 2），PSC=（，0，- ）PSA=（0，- ），PSB= （，），BSC= （0，- ，- 2），BSA= （- ， 0，- 2）.PBfPC =(i, 1, i).(i, o,-i)= o, 所以 PB丄 PC,即 pb1pc.又PB.PA =(i, 1, i).(
9、o, i,-i)= o, 所以PB丄PA,即PB丄PA.又PAHPC = P，所以PB丄平面PAC.类型三 证明面面垂直 例 3 在三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AA丄平面 ABC, AB丄BC, AB=BC=2, AAi = i, E 为 BBi的中点，求证：平面AEC丄平面AAiCiC.证明 由题意知直线AB, BC, BiB两两垂直，以点B为原点，分别以BA, BC, BBi所在 直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(2, 0, 0), Ai(2, 0, i), C(0, 2,0), Ci(0, 2, i), E(0, 0, |),故AAi = (0, 0
10、, i), AC = (-2, 2, 0), ACi = ( - 2, 2,i), AE=(-2, 0, |).n AA = 0,V i i、nf AC = 0,设平面AAiCiC的法向量为ni = (x, y, z),z = 0,即V - 2x + 2y = 0.令 x=i,得y = i,故 ni = (i, i, 0). 设平面AEC的法向量为n2 = (a, b, c),n AC =0,V 2 i巧 AE = 0,-2a + 2b + c = 0, 即、-2a + c = 0.令 c= 4,得 a= i , b=- i ,故 n2= (i ,- i , 4). 因为十n2= IX + X
11、( - )+ 0X4 = 0, 所以丄n2.所以平面AEC丄平面AACC.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(i)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB丄平面BCD, BC=CD,ZBCD=90o,ZADB=30, E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF丄平面ABC.证明 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0, 0, a),则易得B(0, 0, 0),2a，0丿，D(0, V3a, 0)，F(0，盃 a2 a， 2)，故Ab = (0, 0,-a), BC = (a,乎a
12、, 0)n - AB = 0, 则1 _、nf BC = 0,设平面ABC的法向量为ni = (x1, y1, z1),即aZl 0，取 X = 1, 、x1+y1 = 0，1.nJ (1,-1, 0)为平面ABC的一个法向量. 设n2 = (x2, y2, z2)为平面BEF的一个法向量, 同理可得n2 = (1, 1,-5). n2 = (1,-1, 0).(1, 1,-间=0,平面BEF丄平面ABC.1. 下列命题中，正确命题的个数为() 若n1，n2分别是平面a, B的法向量，则nj/na； 若n1，n2分别是平面a，“的法向量，则a丄“少叫.n2=0； 若n是平面a的法向量，a与平面
13、a平行，则n a=0； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1B.2C.3D.4答案 C解析中平面a, “可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知正确.2. 已知两直线的方向向量为a，则下列选项中能使两直线垂直的为()A. a=(1, 0，0)，b = ( 3，0，0)B. a=(0, 1，0)，b = (1, 0， 1)C. a=(0, 1,1), b=(0,1, 1)D.a=(l, 0, 0), = (一1, 0, 0)答案 B解析 因为 a = (0, 1, 0), b = (1, 0, 1),所以ab = 0X1 + 1X0 + 0X1 = 0，所以a丄b，故 选
14、 B.3若直线l的方向向量为a=(1, 0, 2),平面a的法向量为“=(一2, 0,-4)，贝)A.laB.l丄aC.lUaD.l 与 a 斜交答案 B解析 Ta“，：.1 丄a.4.平面a的一个法向量为m = (1, 2, 0),平面“的一个法向量为n = (2,1, 0),则平面a 与平面“的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析(1, 2, 0)(2,-1, 0) = 0,:两法向量垂直，从而两平面垂直.5已知平面a与平面B垂直，若平面a与平面B的法向量分别为“=(一1，0, 5), v=(t, 5, 1),贝y t的值为.答案 5解析平面a与平面B垂直，平面a的法向量“与平面B的法向量v垂直，.“v = 0,即(一 1)Xt + 0X5 + 5X1 =0，解得 t = 5.规律与方法空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线 垂直(1) 证明两直线所成的角为90.(2) 若直线与平面垂直，则此直线与平面内 所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面 垂直对于直线1， m， n和平面a(1) 若 1 丄m，1 丄n，mUa，nUa，m 与 n 相 交，则1丄a.(2) 若 1m，m丄a，则 11a
