《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修21》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修21（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(重点，难点)自 主 预 习探 新 知1空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则
2、平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab一定有成立吗？提示当b1，b2，b3均不为0时，成立3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.基础自测1思考辨析(1)若a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b(2,4，2)()(2)若a(1,2,0)，b(2,0,1)，则|a|b|.()(3)若a(0,0,1)，b(1,0,0)则ab.()
3、(4)在空间坐标系中，若A(1,2,3)，B(4,5,6)，则(3，3，3)()答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4)B(8，16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)D4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k() 【导学号：46342154】A1 B CDDkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k.4若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则_，_.(1，1，1)(1
4、，1，1)，|.合 作 探 究攻 重 难空间向量的坐标运算(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)(2b)2，则x_.(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；()；()解析(1)ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2.答案2(2)(2,6，3)，(4,3,1)()(6,3，4)，则点P的坐标为.设P(x，y，z)，则(x2，y1，z2)()，解得x5，y，z0，则点P的坐标为.规律方法1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向
5、线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.跟踪训练1已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab)解(1)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a(4，2，4)，(2a)(b)(4，2
6、，4)(0,1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)设a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.思路探究(1)根据c，设c，则向量c的坐标可用表示，再利用|c|3求值；(2)把kab与ka2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解解(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)(R)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k
7、，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100，解得k2或k.规律方法向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a. 【导学号：46342155】解(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)
8、|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2).空间向量夹角与长度的计算探究问题1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？提示：P2设异面直线AB，CD所成的角为，则cos cos，一定成立吗？提示：当cos，0时，cos cos，当cos，0时，cos cos，如图3138所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点图3138(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN平面C1MN.思路探究解(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0
9、,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面C1MN，C1N平面C1MN，BN平面C1MN.规律方法 向量夹角的计算步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的
10、点落到坐标轴上(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角跟踪训练3如图3139所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点图3139(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值解(1)证明：设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB同理可证MNCD(2)设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr).又|a，|cos
11、aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.当 堂 达 标固 双 基1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则|3ab|为()A B4C5 DD3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2)，故|3ab|.2已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是()A0 BCD2B(3,3,3)，(6，6，6)则BO33(6)54，|3，|6所以cos，1，所以，.3已知a(1，x,3)，b(2,4，y)，若ab，则xy_.4ab，ba.xy4.4若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平
12、行四边形的面积为_. 【导学号：46342156】6ab2(2)31(1)34，|a|，|b|，cosa，b.sina，b.因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|sina，b6.5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H是C1G的中点利用空间向量解决下列问题：(1)求EF与B1C所成的角；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求F，H两点间的距离解如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，F，C(0,1,0)，C1(0，1,1)，B1(1,1,1)，G.(1)，(1,0，1)，(1,0，1)
