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1、2016届重庆市南开中学高三12月月考数学（理）试题及解析一、选择题1已知集合，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，故选B【考点】集合运算【方法点睛】解集合运算问题应注意以下三点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键（2）对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩（Venn）图2抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A B C2 D4【答案】C【解析】试题分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到
2、直线的距离求得焦点到准线的距离根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=-1，焦点到准线的距离是1+1=2，故选C【考点】抛物线的简单性质3已知命题对任意，有，则（ ）A存在，使 B对任意，有C存在，使 D对任意，有【答案】A【解析】试题分析：已知命题对任意，有，根据命题否定的规则，对命题进行否定；已知命题对任意，有，：存在，使，故选C【考点】命题的否定4若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分析：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于-1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程圆的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于，由
3、点斜式得到直线AB的方程为，即，故选 C【考点】直线的一般方程5等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（ ）A7 B8 C15 D16【答案】C【解析】试题分析：先根据“成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案成等差数列，故选C【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和6已知函数，若将函数的图像向左平移个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位后可得，又它是偶函数，故选D【考点】函数的图象变换【方法点睛】函数f
4、（x）Asin（x）的奇偶性、周期性和对称性（1）若f（x）Asin（x）为偶函数，则当x0时，f（x）取得最大或最小值；若f（x）Asin（x）为奇函数，则当x0时，f（x）0（2）对于函数yAsin（x），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点（x0,0）是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断7已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，的最大值是（ ）A5 B0 C2 D【答案】【解析】试题分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标
5、，代入目标函数得答案作出可行域如图,由图可得，目标函数可化为当过A点时，z最大，z=1+22=5，故选A【考点】简单的线性规划8已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合，若抛物线与该椭圆在第一象限的交点为，椭圆的左焦点为，则（ ）A B C D2【答案】B【解析】试题分析：由椭圆的方程可得和，进而可得c值，可得抛物线C的焦点，可得p值，进而可得抛物线C的方程，联立椭圆与抛物线的方程可得P的坐标，由抛物线的焦半径公式求得，再由椭圆定义求得由椭圆的方程可得，故椭圆的右焦点为（1，0），即抛物线C的焦点为（1，0），抛物线C的方程为：，联立，或P为第一象限的点，故选B【考点】抛物线的标
6、准方程以及椭圆的标准方程9已知函数的导函数为，若使得成立的，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，故选A【考点】导数的运算10正三角形内一点满足，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：如图，设正三角形的边长为a，由得：，故选D【考点】平面向量基本定理及其意义11已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意，由余弦定理，可得故选D【考点】双曲线的简单性质12已知数列满足：，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，故选B【考点】数列的单调性【方
7、法点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了二、填空题13已知向量，若，则实数 【答案】【解析】试题分析：【考点】平面向量的坐标运算；共线向量14若实数满足，且，则的最大值为 【答案】2【解析】试题分析：利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出当且仅当x=20，y=5时取等号，【考点】基本不等式【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点（1）知和求积
8、的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解（4）利用基本不等式求最值时应注意：非零的各数（或式）均为正；和或积为定值；等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可15已知，若函数在上有两个不同零点，则 【答案】【解析】试题分析：其中函数在上有两个不同零点，y=m与y=f（x）的图象有两个交点，且与关
9、于直线对称，【考点】和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点【方法点睛】函数的奇偶性、周期性和对称性（1）若为偶函数，则当x0时，f（x）取得最大或最小值；若）为奇函数，则当x0时，0（2）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点（x0,0）是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断16设点是椭圆上两点，若过点且斜率分别为的两直线交于点，且直线与直线的斜率之积为，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：由椭圆，设，对两边对x取导数，可得即有切线的斜率为，由题意可得AP，BP均为椭圆的切线，A，B为切点，则直线AP的方程为同
10、理可得直线BP的方程为，求得交点P的坐标为，设，时，【考点】椭圆的简单性质三、解答题17设等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题根据等差数列通项及前n项和性质结合条件联立方程即可求得数列通项公式；（2）结合（1）运用裂项方法可得，根据证明即可试题解析：（1）设数列的公差为d，则由，可得d=2，所以；（2）结合（1）可得，所以【考点】等差数列通项公式及前n项和公式；裂项相消法【方法点睛】裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的利用裂项法的关键是分析数列的通
11、项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻（相间）的两项，即这两项的结论应一致18在中，已知角的对边分别为，且（1）求的大小；（2）若，试判断的形状【答案】（1）；（2）等边三角形【解析】试题分析：（1）由题根据所给条件切角化弦然后根据两角和公式结合三角形内角和性质不难得到，所以；（2）由题根据所给条件结合余弦定理可得，结合，所以为等边三角形试题解析：（1）所以；由，得，又，故为等边三角形【考点】解三角形19已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积【答案】（1），或，或；（2）【解析】试题分
12、析：（1）由题根据所给条件不难得到，如何考点与抛物线C只有一个交点的直线方程有三条；（2）结合（1）联立消去x可得如何结合弦长公式求得如何得到三角形面积试题解析：（1）由题所抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，所以，的方程为，或，或；结合（1）知抛物线C的方程为，直线MF的方程为，联立，所以【考点】抛物线的性质；直线与圆锥曲线的位置关系20已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，点为椭圆上任意一点，且面积最大值为（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意根据所给椭圆
13、离心率结合过焦点的面积最大的三角形的特征列方程计算即可；（2）由题不难得到，如何根据得到直线AM与AN关于直线x=1对称，得到其斜率关系，联立直线MN与椭圆方程可得，根据列式化简根据恒过点问题的解法得到直线过定点试题解析：（1）由题意知，在椭圆方程为：；，设，联立椭圆方程，得，由得，即，化简得，为定值【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系21已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）若，求证：当时，（参考数据：）【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题m=-1时，所以利用导函数性质不难得到其单调区间，进而求得极值点；（2）由题m=2时，问题转化为求函数的最小值问题，根据恒成立问题解法不难证明试题解析：（1），在（0,1）单调减，在单调增，极小值为，无极大值；构造函数，在单调增，在上有唯一零点，即，由h（x）的单调性，有，构造函数在（0,1）上单调减，即，【考点】利用导数语句函数的单调性；恒成立
