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1、word不用极限怎样讲微积分X景中某某大学计算机教育软件研究所讲微积分必须讲极限，否如此就讲不清楚，这几乎是两百年来数学界的共识，但逆反心理总是有的，越说不用极限不能讲微积分，就越有人想打破框框，想不用极限讲讲微积分，这不，有本书就叫做不用极限的微积分(原文：Calculus With-out Limit) 1。在网上看到这书名如获至宝，带着激动的心情下载解包急欲一读为快一看封面，心先凉了一半，原来在书名后面有一条小尾巴：一almost. (图1)这就是说不是不用极限，是“几乎不用极限，再看内容，就知道了所谓“几乎不用极限，就是用直观描述代替严谨的极限定义，这和许多微积分的通俗读物本质上没有区
2、别，是模模糊糊的说不清楚的微积分，听有些在大学里讲微积分的教师说，学生根本没有学过微积分还好教，如果学过一些说不清楚的微积分，成了夹生饭，就更不容易教他学懂微积分了，是否真的如此，没有调查研究不敢妄言但不用极限讲微积分这个题目，就显得更诱人 五十年前学微积分，三十年前又教微积分，常常想一个问题：怎样把微积分变得容易些，曾经想过不用来寇义极限2，但不用极限讲微积分的问题更有意思，在数学教育中更有实际意义，近来在林群先生一系列工作3，4，5，6的启发下，偶有所得，自以为是真正实现了不用极限讲微积分，而且是严谨地讲，不用almost.其中有些思路好似以前没有人说过，于是抛砖引玉，希望对高中里的微积分
3、的教学，以与大学里高等数学的教学改革有些用处1 差商和差商有界的函数 讲这个问题总得有点预备知识，无非是函数，差分，差商 高中数学课里函数总是要讲的，习惯上只讲一元函数其实大可以不必这么小气，同时提一下多元函数概念只有好处小学里的加减乘除都是2元函数，求梯形面积公式就是3元函数，求圆面积公式才是一元函数，这样一讲，学生会感到函数不是新来的怪物，是老朋友，更直观更具体，然后先从一元函数来研究，多元函数概念立此存照有此伏笔，将来把定积分看成区间两端点的2元函数就顺理成章了 接着要讲函数的递增递减判断函数的增减性最好给学生一个工具，这工具就是差分或差商湘教版高中教材讲了差分：当h0时，差分正如此函数
4、增，差分负如此函数减，人教版高中教材讲了差商：差商正如此函数增，差商负如此函数减知道了差分和差商，讲微积分就方便了，不管用不用极限，差分和差商总是要用的 差商是函数在一个区间上的平均变化率常见的函数，在有限区间上的差商多是有界的，这类函数很重要，干脆给个定义： 定义1.1 假如函数在区间I上有定义，且有正数M使得对I上任意两点uv，总有不等式成立，如此称，在区间I上差商有界，也说，在区间I上满足李普西兹条件Lipschitz条件定理1.1 在区间a,b上差商有界的函数在区间a,b上必有界这是因为之故。例1.1 求证函数在区间a,b上差商有界 证明 对a,b上任意两点u0，它在上差商有界 证明
5、先用反证法证明其在区间0，1上非差商有界假如不然，有正数M，使得对0，1上任意两点u0时在上，由于,可见它是差商有界的。几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界，也就是不能太陡，多项式函数，三角函数，指数函数和对数函数，在有定义的闭区间上，总是差商有界的两个差商有界函数的和，积以与复合函数也是差商有界的，显然有定理1.2 如果函数F(x)在区间a，c上和区间c，b上都是差商有界的，如此它在区间ab上也是差商有界的反过来，假如函数F(x)在区间 a，b上差商有界，如此它在a，b的任意子区间上也是差商有界的差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数练习计算函数的差分差商
6、，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却很有帮助2 换一个眼光看3个经典例子 不用极限，如何看待微积分的几个经典案例呢？ 例2.1 用S=S(t)表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V = V(t)表示它在时刻t的瞬时速度，如此它在时间区间u，v上的平均速度的大小，应当在u,v上的某两个时刻的瞬时速度之间 也就是说，有u，v上的p和q，使得下面的不等式成立：上式可用语言表达为“函数S(t)的差商是v(t)的中间值 要注意的是，尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某两个时刻的瞬时速度之间，但要提炼出不等式(2.1)并不容易从直观的表述得到数学的符号语言，对学生是很好的锻炼，
7、例2.2 记函数y= F(x)的曲线上在点x处的切线的斜率为k(x)如此过两点A=(u,F(u)和B=(v，F(v)的割线的斜率，应当在 u，v上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间图3也就是说，有u，v上的p和q，使得下面的不等式成立： 上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是k(x)的中间值 上面两个例子，在数学上是一回事但从平均速度和瞬时速度的问题中，更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值 例2.3 考虑a，b上的函数f(x)的曲线和x轴之间的面积假如记a,b上曲边梯形面积为F(x)如图4，如此u,v上这块面积为F(v) -F(u)如果把这块面积去高补低折合成长为v-u的矩形，如此
8、矩形的高应当在u,v上的某两个变量值对应的f(x)的值之间图5也就是说，有u，v上的p和q，使得下面的不等式成立： 上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是f(x)的中间值， 注意，我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义但从几何直观上看，这面积应当存在，并且折合成长为v-u的矩形后，矩形的高应当在u,v上这段曲线的某两点高度之间图5图5 矩形的高在u，v上这段曲线的某两点高度之间 上面3个例子中，都涉与两个函数，其中一个函数的差商是另一个函数的中间值， 从这些例子中，提炼出一个问题，这是微积分的根本问题： 假如f(x)的差商是g(x)的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？ 这个问题解决了，求作
9、曲线切线的问题，求瞬时速度问题，求曲边梯形面积问题就都解决了 牛顿和莱布尼兹是天才，他们一下子就想到用无穷小或用极限来解决这些问题：无穷小也好，极限也好，都属于天才的思想，所以长时期内使普通人困惑，普通人的平常的推理，只能想到平常的不等式(2.1)，(2.2)和(2.3)对这些不等式，小学生都不会困惑。 问题在于，从这些不等式出发，不借助无穷小或极限概念，能得到问题的答案吗？3 用平常的推理寻求答案 我们已经从3个经典问题中提炼出来一个数学模型：假如函数fx的差商是gx的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？ 为了方便，引入定义3. 1 假如在I的任意闭子区间u，v上，函数f(x)的差商都是g
10、(x)的中间值，如此把f(x)叫做g(x)在I上的甲函数，把g(x)叫做f(x)在I上的乙函数， 显然有 假如g(x)是f(x)在a，b上的乙函数，又是f(x)在b，c上的乙函数，如此g(x)是f(x)在a，c上的乙函数， 这是因为，对于任意的uvw，差商总在和之间的缘故 学过一些微积分的读者心知肚明，f(x)的乙函数似乎就应当是f(x)的导数但是，用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗？ 函数是的乙函数 事实上，对任意uv，的差商为 不等式g(u)=2uu+v2v=g(v)明确，g(x) = 2x是的乙函数 函数是的乙函数 这里有当uv0时，显然在和之间；这明确，在一，O和O，+co上，都是
11、f(x)的乙函数因此在一，+ oo上函数是的乙函数， 例3.3 对任意正整数n，函数是的乙函数 推导类似于上例，从略例3.4在(o，+)上，函数是的乙函数 同样道理，对Ouv有不等式明确，g(x)是f(x)的乙函数 在(0，+)和一，O上，函数是：不等式明确，g(x)是f(x)的乙函数 在一，+ oo上，函数g(x)= cosx是f(x)= sinx的乙函数只要对任意的整数n，证明在上函数g(x)=cosx是 f(x)=sinx的乙函数即可 注意当时，有sinhhtanh，从而；于是对警，上的任意两点uv，有：另一方面，有 这明确，在上cosx是sInx的乙函数从而要证的结论成立 在0，+)上
12、，函数是的乙函数 这个例子计算起来稍繁，但方法大体一样，对ouv，先计算出再根据0uv和估计出：从而得到，明确是的乙函数， 例3.7值得注意：所得到的乙函数在包含0的区间有定义，但不是差商有界的 探索问题，是不是的乙函数呢？ 如果对f(x)分项求乙函数再加起来确实得到g(x)但是现在还没有证明分项计算乙函数的法如此，所以只能直接计算先求出f (x)在u，v上的差商，记做考虑它和g(u)以与g(v)之差： 因为v-u总是正数，故当3u+a0时， (3.9)和(3.10)都非负，即g(u)Dg(v)，说明在上g(x)是f(x)的乙函数；当3v+a0时，(3.9)和(3.10)都非正，即g(v)Dg
13、(u)，说明在上g(x)也是f(x)的乙函数这肯定了在一，+上g(x)是f(x)的乙函数 上面求出来的乙函数和用取极限方法求出来的导数是一样的普普通通的推理和天才巨匠的方法得到了一样的结论奇怪的是，这样平常的推理，过去居然没人提到！ 由定义直接推出： 定理3.2(i)函数g(x)=0是常数函数f (x) =C的乙函数 (ii)函数g(x)=k是一次函数f(x)=kx+b的乙函数 (iii)假如函数g(x)是f(x)的乙函数，如此函数kg (x)是kf (x) +c的乙函数 (iv)假如函数g(x)是f(x)的乙函数，如此函数kg (kx+c)是f(kx +c)的乙函数 乙函数还有什么用？ 下面
14、的定理说明，乙函数用处很大 定理3.3 设在区间I上函数g(x)是f(x)的乙函数，在I的任意子区间u，v上，假如g(x)为正如此f(x)递增；假如g(x)为负如此f (x)递减；假如g(x)为0如此f(x)为常数 根据乙函数的定义就知道，这个命题显然成立 上面诸例中得到的乙函数其实就是导数在当前的高中教材中，根据导数正负判断函数增减是导数的最重要的应用，可是道理说不清楚在大学里非数学专业的高等数学课程里，也只能讲一局部道理，不要求完全严谨证明因为涉与实数理论，板限概念和连续性，完全说清楚至少要两周的课时现在，平平常常的推理，就说清楚了既直观又严谨 由例3.8和定理3.3，三次函数单调区间确实定以与最大最小值问题就完全而严谨地解决了新方法的好处露出了冰山一角4 导数概念 上面几个例子中找出来的乙函数，除了例3.7，在有定义的闭区间上都是差商有界的
