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1、第八节曲线与方程A级基础过关|固根基|1.到点F(0，4)的距离比到直线y5的距离小1的动点M的轨迹方程为()Ay16x2By16x2Cx216yDx216y解析：选C由条件知，动点M到F(0，4)的距离与到直线y4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y4为准线的抛物线，其标准方程为x216y.2已知点M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线(非x轴)相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1)Bx21(x0)Dx21(x1)解析：选A由题意知，|PM|PN|BM|BN|2，由双曲线的定义可知点P的轨迹是以M，N为焦
2、点的双曲线的右支，由已知条件得c3，a1，所以b28.所以点P的轨迹方程为x21(x1)故选A3已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A圆B抛物线C双曲线D椭圆解析：选D因为点P满足()，所以点P是线段QF1的中点，设P(x，y)，由于F1为椭圆C：1的左焦点，则F1(，0)，故Q(2x，2y)，由点Q在椭圆C：1上，得点P的轨迹方程为1，故点P的轨迹为椭圆，故选D4已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1)By21Cy21Dx21解析：选A由题意
3、，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支由已知条件得c7，a1，b248，点F的轨迹方程为y21(y1)故选A5(2019届湖南雅礼中学月考)已知A(1，0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交线段BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A1B1C1D1解析：选D圆F的标准方程为(x1)2y212，则圆心F(1，0)，半径r2.由已知可得|FB|PF|PB|PF|PA|22|AF|，故动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，所以a，c1，所以b2
4、a2c22，所以动点P的轨迹方程是1.故选D6已知在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且顶点A，B的坐标分别为(4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin Bsin Asin C，则C点的轨迹方程为_解析：由sin Bsin Asin C及正弦定理可知bac10，即|AC|BC|108|AB|，满足椭圆定义令椭圆方程为1，则a5，c4，b3，则C点轨迹方程为1(x5)答案：1(x5)7在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为，则点P的轨迹方程是_解析：由题意知，得x2y5，即x2y50.答案：x2y508在平面直角坐标系xOy中，O为坐
5、标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_解析：设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.答案：y2x29已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线焦点的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0
6、)10(2020届惠州调研)已知定点A(3，0)，B(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点T(1，0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(x0，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设动点M(x，y)，则直线MA的斜率kMA(x3)，直线MB的斜率kMB(x3)因为kMAkMB，所以，化简得y21.又x3，所以曲线C的方程为y21(x3)(2)存在定点S(x0，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l过点T(1，0)，可
7、设直线l的方程为xmy1，联立得消去x得，(m29)y22my80.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线SP与SQ的斜率分别为kSP，kSQ，则kSPkSQ，当x03时，mR，kSPkSQ；当x03时，mR，kSPkSQ.所以存在定点S(3，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值.B级素养提升|练能力|11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy，x2y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P的轨迹是()解析：选D当P沿AB运动时，x1，设P(
8、x，y)，则(0y1)，故y1(0x2，0y1)；当P沿BC运动时，y1，则(0x1)，所以y1(0x2，1y0)，由此可知P的轨迹如D所示，故选D12已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆B椭圆C抛物线D双曲线解析：选C以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系(图略)，设M(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则N(x，0)因为2，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，轨迹是圆；当0且1时，轨迹是椭圆；当0)由得x.设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，则PQG是直角三角形
