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1、圆锥曲线中面积的最值问题1 (本小题共14分)已知抛物线y 2 = 4x，点M (1,0)关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于 A, B两点.(I) 证明：直线NA , NB的斜率互为相反数；(II) 求AANB面积的最小值；(III) 当点M的坐标为(m,0)( m 0，且m引).根据(I)(II)推测并回答下列问题(不必说明理由)： 直线NA , NB的斜率是否互为相反数？ AANB面积的最小值是多少？2. (本题满分14分)已知椭圆+ ； = 1(a b 0)的离心率为,长轴长为2(3 ,直线l : y = kx + m交椭圆于不同的两点A、B。(1) 求椭圆的方程；(2) 求m
2、 = 1,且OA - OB = 0,求k的值(O点为坐标原点)；3(3) 若坐标原点O到直线l的距离为，求AAOB面积的最大值。23. (本小题共14分)已知椭圆的中点在原点O,焦点在x轴上，点A (- 2打,0)是其左顶点，点C在椭圆上且 AC - CO = 0,1 AC 1=I CO I.(I)求椭圆的方程；(II )若平行于CO的直线l和椭圆交于M，N两个不同点，求ACMN面积的最大值，并 求此时直线l的方程.4. 已知椭圆E： + = 1，点P(x, y)是椭圆上一点。2516(1) 求x2 + y2的最值。(2) 若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四
3、边形面积 的最大值。5.设直线l : y = k (X + 1)与椭圆X2 + 3 y2 = a2 (a 0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C,记O为坐标原点.(I)证明：a 2 6.如图，已知Oo: x2 +11 y + m2=4 m2 (m 0 )及点 Mr如10,m3 J30).过动点M (a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B, |AB|W2p.(I) 求a的取值范围；(II) 若线段AB的垂直平分线交x轴于点M求NAB面积的最大值.8、如图，已知在矩形ABCD中，C(4,4),点A在曲线x2 + y 2 = 9 (x0, y0)上移动, 且AB, BC两
4、边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的 坐标.9.已知椭圆了 + y 2 = 1的左、右两个顶点分别为A, B,直线x = t(-2 t 4 .k 2当l垂直于x轴时，S = 4 .AANB面积的最小值等于4 .10分（III）推测：k =-k ;NANB AANB 面积的最小值为4m 0 ,AO - OB = 0(kx 1 + 1) - (kx 2 + 1)= (1 + k 2 ) x x + k ( x + x ) + 11212一 6 k=(1 + k 2) x 0 + k+ 1 =1 + 3 k 2(3)由已知2；1 + k 2可得 m 2 = (k 2 +
5、1)9 分4将y = kx + m代入椭圆方程，整理得(1 + 3k2)x2 + 6kmkx + 3m2 一 3 = 0.A = (6km )2 - 4(1 + 3k 2)(3m 2 - 3) 0(*)一 6 km3 m2 - 3x + x = , x - x =12 1 + 3 k 2121 + 3 k 210分36 k2 m2.I AB 12 = (1 + k 2)(x2 - x 1)2 = (1 - k 2)12(m 2 1)3 k 2 + 112(k 2 + 1)(3k 2 + 1 - m 2)3(k 2 + 1)(9k 2 + 1)11分(3k 2 + 1)(3 k 2 + 1)21
6、2 k 21212当且仅当9k 23” 一 、即k = 上3时等号成立，3经检验，k = 上3满足(*)式当 k = 0 时，| AB = b 0),a2b2左顶点 A(-2 侦3,0), AC CO ,I AC I=I CO I.a 2 = 12,点 C (-t3,t3),又在椭圆上，3312 b 2b2=4,4(k 尹 0)12 分 03 m x + x =3 m 2 - 12x - x =.MN 1= * 2 口x + x )2 4x x = U212 121 2I4又C到直线l的距离d = i 3 + ：3 - m I = 也,v2v2 CMN 的面积 S = 2 - I MN IdI
7、 m 2 + 16 m 22 3V(2，当且仅当m 2 = 16 m2时取等号，此时m = 2*满足题中条件，.直线l的方程为x + y 土 2P2 = 0.4 解：(1)由+ = 1 得 y 2 = 16(1 一)，则251625x2 + y2 = x2 + 16(1 一 ), x e 一5, 525则 16 x2 + y2 25所以x2 + y2的最大值为25,最小值为16。(2)如图，由x. = 5及椭圆方程得A(5, 0)。同理 C (0，4)，设 B (5 cos 9,4sin 9 )为椭圆上任一点，又AC方程为 + = 1，即4x - 5 y - 20 = 0。所以B到AC的距离为
8、20 cos 9 + 20 sin 9 2020，2 - 204120 2 sin( 9 + ) - 20441.,.20 v 2 + 20同理得D到直线AC的距离d2 0, k2 k2整理得1(k2即2 (II)解：设 A(x. , y ), B(x , y ).由，得 yy2因为 AC = 2CB ,代入上式，于是，AOAB的面积1S 一 I OC I - I21 + 3k 22 十3 I k I 23 其中，上式取等号的条件是3 k 2 1,即k - 室2 k f n,可得y2将 k = , y 及 kMy 25、 一，这两组值分别代入，3均可解出a 2 = 5.所以，AOAB的面积取得
9、最大值的椭圆方程是x2 + 3y 2 5.6. (1) VI是线段mm 的中垂线，.PM = PM . |PM| + |P O | = |P M l + |P O | = | O M l=2m( m 0).即点 P 在以 O、M 为焦点，以+ X = 1，即 3 x2 +y2 m23斗m为焦距，以2m为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为2(2)由 y = k(x + 1) (k 尹 0)得x = 1 y 1.将 X = - y - 1代入 3x2 + y 2 = m 2 消去 X，得(+ 1) y 2 y + 3 - a 2 = 0.kk2k整理得（旦+ 1） m2 3， k23 k 2即 m 2 -3-3 + k 2由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得A = 一 4(兰 + 1)(3 一 m2) 0, k2 k2设 A(x , y ), B (x , y ).由，得 y + y 112212. AD = 2 D B,而点 D (1,0) , . ( 1 x , y ) = 2( x + 1, y )，所以 y = 2 y ,
