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1、学大教育个性化教学教案高一数学必修4知识点总结第一章 三角函数一、任意角1角的有关概念： 角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称：B 终边/始边角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：没有任何旋转形成的角I负角：按顺时针方向旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下，“角a ”或“za ”可以简化成“a ”；零角的终边与始边重合，如果a是零角a =0;2象限角的概念：定义：角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为 第几象限角如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限k -360 a k - 36
2、0 + 90 第三象限角的集合为a |k -360 +180 a k - 360 + 270 , k ez第四象限角的集合为匕Ik360 ,k eZJZ ooa= k 180 , k eZ 丿a= k-180 + 90 , k eZ 丿 a a = k - 90 , k e Z终边在X轴上的角的集合为终边在 y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角a终边相同的角的集合为卩 =k 360 +a,k e二、弧度制学大教育个性化教学教案Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 1 弧度记
3、做 1rad. 弧度来度量角的单位制叫做 弧度制.2、半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为1，则角a的弧度数的绝对值是=L r3. 弧度制的性质： 半圆所对的圆心角为乞=兀; r正角的弧度数是一个正数.零角的弧度数是零.4角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度： 整圆所对的圆心角为竺=2兀.r负角的弧度数是一个负数.角a的弧度数的绝对值|a|二L.r仃幵-TT360O=2180_; 1O=而0.01745rad;宀而rad 将弧度化为角度：2兀二 360 ； 1 = 180沁 57.3 I兀丿。5常规写法： 用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少n的形式，不必写成小数. 弧度与角度不能混用.6、若
4、扇形的圆心角为aG为弧度制）半径为r 弧长为1周长为C面积为S，则1二 r a I ,C 二 2r +1 ,S = 11r = -|a |r2 2 2 1a的终边上任意一点P的坐标是（x, y ），它与原点的距离是xcos a = , tan a =r三、任意角的三角函数1、设a是一个任意大小的角，r C 二 x2 + y 2 。），则 sin a =r2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.3、三角函数线： sin a = MP , cos a =OM , tan a = AT 4、同角二角函数的基本关系：（l）sin2 a + co
5、s2 a = 1（sin2 a = 1 - cos2 a ,cos2 a = 1 - sin2 a）；sina=tan acosa5、函数的诱导公式：(l)sin(2kK+a)= sin a ,cos(2k 兀+a)= cos a , tan(2k兀+a)= tan a (k eZ).(2)sin G+a)=-sin a ,cos G+a)=- cosa , tan G+a)= tan a .(3) sin (-a)= -sina ， cos (-a)= cosa ， tan(-a)= -tana (4 )sin G-a)= sin a , cos G-a)=- cos a , tan G-a
6、) = - tan a . 5)sin -a12丿= cos a ， cos一a12丿= sina (6) sin=cos a二一sin a 口诀：奇变偶不变，符号看象限四、三角函数的图象与性质1、正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：正弦函数y二sinx ,xe0, 2n啲图象中，五个关键点是:兀3兀(0,0) G ,1) (n,0) (3 ,-1) (2n,0)学大教育个性化教学教案Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.余弦函数y二co
7、sxx 0,2n啲五个关键点是：兀3兀(0,1) (? ,0) (n,-1) (T ,0) (2n,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度要求不太高时，常采用五点法作正 弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握。3 函数y二A sin(血+申)+B的图象由函数 y = sin x 的图象通过变换得到y二Asin(册+Q)+b的图象。有两种主要途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一：先平移后伸缩y = sin x 向左0)或向右 y = A sinx +申) 纵坐标不变横坐标不变向上(或向下)平移B个单位 T 丁二J就口 0： - O +B法二：先伸缩后平移y = si
8、n x横坐标变为原来的十倍纵坐标不变y = sinfflx 向左（卩0）或向右（卩 y = sin（x + ）平移渤个单位纵坐标变为原来的A倍_ y = A sin(x + Q )横坐标不变一向上(或向下平移B个单位 、.y - /听口(祇 + 0, W 0)的物理意义： 函数y = A sin(Wx + Q) x G lo,+J其中(A 0, W 0)表示一个振动量时：A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅” T：2兀T二往复振动一次所需的时间，称为“周期”f二1二上单位时间内往返振动的次数，称为频率” f :T 2兀血+申:称为“相位”.9 : x =0时的相位，称为“初相”
9、5、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质:函数性质图象y = sin xy = tan xy = cos xRR定义域7 兀 7x x丰k兀+,k eZ2值域当x = 2+1 (k ez)当 x = 2k兀(k eZ )时，最值时，y = 1 ；max当x =如冷(keZ)y = 1 ；当x = 2k兀+兀max(k eZ)时，y =-1 .min既无最大值也无最小时，y =-1 .min周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在冗 j 冗2 k 冗一一,2 k 冗 + _2 2(k ez)上是增函数;在 2k兀-兀,2k兀(k ez)上是增函数;(k ez)上是增函数.在C 7兀 3兀2 k 兀
10、+, 2 k 兀 +L22(k ez)上是减函数.在bk兀,2k兀+兀(k eZ)上是减函数.对称性对称中心(加,0)(k eZ) 对称轴x = k兀 H (k e Z)2对称中心(kn+-,0(k eZ)I 2丿对称轴x 二 k- (k eZ )对称中心f k- ,0 丿(k eZ)I 2丿无对称轴第二章 平面向量一、向量的基本概念1、向量： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度) 零向量：长度为0的向量，其方向是任意的，零向量与任一向量平行. 单位向量：模为1个单位长度的向量 平行向量(共线向量
11、)：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量二、向量的线性运算及坐标表示1、向量加法运算：三角形不等式：| a - bi - |a+b - a+ib运算性质：交换律：a + b = b + a ；结合律：J + b )+ c = a +a +0 = 0+ a = a(+ c )；手K號肓Sitdu cqrna b = AC AB = B C坐标运算：设 a =(兀,y , b =(x J )，则 a + b =(x + x ；y + y )1 1 2 2 1 2 1 22、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设 a =(x , y
12、) , b = (x , y )，则 a - b =(x - x , y - y )1 1 2 2 1 2 1 2设A、B两点的坐标分别为(x , y ) , (x , y )，则AB = (x - x , y - y )1 1 2 2 1 2 1 23、向量数乘运算：实数九与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a pa| =內a ； 当九0时，Xa的方向与a的方向相同；当九 0时，九a的方向与a的方向相反；当九二0时，X a =0 f运算律：X(pa)=(Xy)a-:(X + y)a = Xa + a ；:X-(a + b )= Xa+ Xb 坐标运算：设a = (x, y )，则九a = X(x, y )=(九x, X y ).三、平面向量的基本定理1向量共线定理：向量a J工0 )与b共线，当且仅当有唯个实数X ,使b =X a .设a = (x , y ) , b =(x , y )，其中b工0，则当且仅当x y - x y = 0时，向量a、b (丰o)共线.1 1 2 2 1 2 2 12、平面向量基本定理：如果e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意12向量a，有且只有一对实数X、X ，使a = X e +X e(不共线的向量e、e作为这一平面
