《求数列通项公式的十种方法 例题答案详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求数列通项公式的十种方法 例题答案详解（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数 列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，
2、其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：a = a + f（n）这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。n+1 n2 .若 a - a = f (n) (n 2),n +1na2-a1 = f(1)a -a = f (2)则a -a = f (n)n +1n两边分别相加得a -a = f（n）n +11k=1例1已知数列a 满足a = a + 2n +1, a = 1，求数列a 的通项公式。nn+1 n1n解：由 a = a + 2n +1 得 a 一 a = 2n +1 贝yn+1nn+1n所以数列a 的通项公式为a = n2 o nn例2已知数列a 满足a = a +
3、2x 3n +1, a = 3，求数列a 的通项公式。nn +1n1n解法一：由 a = a + 2 x 3n +1 得 a - a = 2 x 3n +1 贝 yn +1nn +1na = (a a ) + (a a ) + + (a a ) + (a a ) + ann n1n1 n232211=(2 x 3n-1 +1) + (2 x 3n - 2 +1)+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n1 + 3n - 2 + 32 + 31) + (n 1) + 3=23(1 + (n 1) + 31 3=3n 3+n1+3= 3n + n 1所以 a =3n
4、+n1.naa2 1解法二：a = 3a + 2 x 3n +1两边除以3n+1 n +1n得= n +3n+13n33n+1aa2 1则一n+1 n =+3n+13n33n+12(n -1) * 3(1-3小3- 13-+1=+1丄3 2 2x3nx 3n 221贝 y a = x n x 3n + n 32评注：已知a1 = a , an+1 an = f (n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函 数、分式函数，求通项an . 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加
5、后可转化为等比数列求和； 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。S = -(a +)例3.已知数列3中，an 0且2 n 3 ,求数列n 的通项公式.S)n1=a1得a1 = 1所以甲=響，又an 。-1,求数列an的通项公式.答案：n 二（n 一 1）!（a1 + 1）-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an+1二nan + 一 h转化为an+1 + 1二Sn + D若令bn二3 + j则问题进一步转化为+1二n形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于a = qa + f （n）n +1n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，
6、其定义域是自然数集的一 个函数。1形如 an+1 二 Can + d，（C 丰 其中 a1 = a ）型（1）若C=1时，数列n 为等差数列；（2）若d=0时，数列an为等比数列；（3）若C丰1Sd丰0时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.待定系数法：设an+1 二C（an +九）,a = ca + (c 1)九a = ca + d,得n+1n 丿，与题设n+1n比较系数得ddd(一 1)7 = j九=，(c 丰 0)a + = c(a +7)(c 1)A = d，所以c 1所以有：n c 一1n1 c 一1U 亠a+二因此数列I c 一 1J构成以1 c
7、1为首项，以c为公比的等比数列,dddda += (a + ) - cnia = (a + ) - cn1 一所以 n c 1 1 c 1即： n 1 c 1c 1dd+ d a += c(a +)规律:将递推关系an+1 = canan耳c 1a从而求得通项公式dd口 + cn一5 戸)十d化为n+1 c-1 n c-1 ,构造成公比为c的等比数列a a = cn (an +1n2逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系an+1 = can + d中把n换成n-1有an = n1 + J 两式相减有an+1 an =一 n1 )从而化为公比为C的等比数列n+1 一 3 ，进而求得通项公式.a
8、1),再利用类型(1)即可求得通项公式我们看到此方法比较复杂.例6已知数列a 中，a = 1,a = 2a + 1(n 2)，求数列a 的通项公式。n1 nn 1n解法一： a = 2a + 1(n 2),nn1又Ta +1 = 2,.a +1是首项为2,公比为2的等比数列1n/. a +1 = 2n，即 a = 2n 1nn解法二： a = 2a + 1(n 2),nn1两式相减得a a = 2(a a )(n 2)，故数列a a 是首项为2,公比为2的等n +1nnn 1n +1n比数列，再用累加法的练习.已知数列an中,a = 2, a1n +11+ 2求通项an答案：a =（2）n-1
9、 + 12.形如：an+1= p an + qn（其中q是常数，且n丰0,1）若p=1时，即：an+1 = an + qn，累加即可.若P丰1时，即:a = p a + qnn +1n ，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以pn+1.目的是把所求数列构造成等差数列aa1pa1p= n + （ ）n b =b b =（ ）n即： pn+1qnpq,令n pn，则 n+1n pq,然后类型 1，累加求通项.ii. 两边同除以qn+1 .目的是把所求数列构造成等差数列。a p a 1n+1 =一n + 即：qn+1 q qn q ,ap 1b =nb = b + 令 n qn ,则可化为 n+1
10、 q n q .然后转化为类型5来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设an+1 +少1 = P（an +卩）.通过比较系数，求出九，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p工q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an 满足an+1 = 2an + 1 = 1，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设an+1 +X13n =X2（ an + 3n1），比较系数得九 1=4九2= 2，a 4 3n1a 4 31-1 = 5则数列是首项为a1 4 35，公比为2的等比数列，a 4 3n1 = 5 2n1a = 4 3n1 5 2 n-1所以 n，即 na2 a 4=一n +解法二（两边同除以qn+1）：两边同时除以3n+1得：3n+1 3 3n 32，下面解法略a a 4 3 n 11 = n + () n面解法略解法三(两边同除以pn+1):两边同时除以2n+1得：2n+1 2n 3 23.形如广化+ kn + b(其中k,b是常数，且k丰0)方法 1：逐项相减法(阶差法)方法 2：待定系数法(a + xn + y)二 p (a + x(
