《专题极坐标与全参数方程选讲》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题极坐标与全参数方程选讲(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、word专题极坐标与参数方程选讲学生: 一、极坐标1极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O点引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系设M是平面一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的极径,记为,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,)(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,设M是平面任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),如此它们之间的
2、关系为xcos ,ysin_.另一种关系为2x2y2,tan .2直线的极坐标方程假如直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,如此它的方程为:sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:0和0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos a;(3)直线过M且平行于极轴:sin b.3圆的极坐标方程假如圆心为M(0,0),半径为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:2acos_;(3)当圆心位于M,半径为a:2asin_.二、参数方程1曲线的参数方程在平面
3、直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,如此称上式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数2一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为(为参数)(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为(t为参数)1. (1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点M的直角坐标(,1)化成极坐标【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点P的直角坐标(,)化
4、成极坐标(0,02)2. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程【训练2】O1和O2的极坐标方程分别为4cos ,4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过O1,O2交点的直线的直角坐标方程3. (2014调研)在极坐标系中,求直线sin2被圆4截得的弦长【训练3】1(2012卷)在极坐标系中,圆C经过点P(,),圆心为直线sin与极轴的交点,求圆C的极坐标方程2设过原点O的
5、直线与圆(x1)2y21的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线4(2012卷)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2y24,圆C2:(x2)2y24.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程5在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点,P点满足2 ,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的
6、异于极点的交点为B,求AB.6. 把如下参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线;(1)(t为参数);(2)(t为参数);(3)(t为参数)【训练6】 将如下参数方程化为普通方程(1)(为参数);(2)(t为参数)7. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取一样的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B,假如点P的坐标为(3,),求|PA|PB|.【训练7】 直线l的参数方程为(参数tR),圆C的参数方程为(参数0,2),求直线l被圆C所截得的弦长
7、【例8】 P为半圆C:(为参数,0)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程【训练8】(2013卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(,),直线l的极坐标方程为cos()a,且点A在直线l上(1)求a的值与直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系9. 圆锥曲线(是参数)和定点A(0, ),F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的
8、直线l的参数方程;(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程10.直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆y21上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值11(2013新课标全国卷)曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)12(2013新课标全国卷)动点P、Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t与t2(02),M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并
9、判断M的轨迹是否过坐标原点13(2012新课标全国卷)曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值围专题极坐标与参数方程选讲学生: 一、极坐标1极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O点引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系设
10、M是平面一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的极径,记为,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,)(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,设M是平面任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),如此它们之间的关系为xcos ,ysin_.另一种关系为2x2y2,tan .2直线的极坐标方程假如直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,如此它的方程为:sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:0和0;(2)直线过点M(a,
11、0)且垂直于极轴:cos a;(3)直线过M且平行于极轴:sin b.3圆的极坐标方程假如圆心为M(0,0),半径为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:2acos_;(3)当圆心位于M,半径为a:2asin_.二、参数方程1曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,如此称上式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数2一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为的
12、直线的参数方程为(t为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为(为参数)(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为(t为参数)考点一极坐标与直角坐标的互化1. (1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点M的直角坐标(,1)化成极坐标解(1)x5cos ,y5sin ,点M的直角坐标是.(2)2,tan .点M在第三象限,0,最小正角.因此,点M的极坐标是.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的围,否如此点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进展互化时,一定要注意变量的围要注意转化的等价性【
13、训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点P的直角坐标(,)化成极坐标(0,02)解(1)x8cos 4,y8sin 4,因此,点M的直角坐标是(4,4)(2)2,tan ,又因为点在第四象限,得.因此,点P的极坐标为.考点二直角坐标方程与极坐标方程的互化2. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程解(1)cos1,cos cos sin sin 1.又,xy1.即曲线C的直角坐标方程为xy20.令y0,如此x2;令x0,如此y.M(2,0),N.M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.(2)M,N连线的中点P的直角坐标为,P的极角为.直线OP的极