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1、复习资料高等数学高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 一、基本概念 1多元函数 知道多元函数的定义 n元函数：y=f(x1,x2,L,xn) 会求二元函数的定义域 1：分母不为0； 2：真数大于0； 3：开偶次方数不小于0； 4：z=arcsinu或arccosu中|u|1 会对二元函数作几何解释 2二重极限 xx0yy0limf(x,y)=A 这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的 理解二重极限的定义 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； 会证二元函数的极限不存在 3多元函数的连续性 理解定义：limf(P)=f(P0) PP0知道一切多元初等函数在其
2、定义域内连续的结论； 知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1偏导数 理解偏导数的定义 f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)z=lim xDx0Dxf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)z=lim yDy0Dy知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系 求偏导数法则、公式同一元函数 2高阶偏导数 理解高阶偏导数的定义 注意记号与求导顺序问题 2z2z=二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关： xyyx3全微分 知道全微分的定义 若Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)可表示成ADx+BDy+o(r)，则z=f(x,y)在点(x0,y0
3、)处可微；称ADx+BDy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dz=ADx+BDy 知道二元函数全微分存在的充分必要条件： 函数可微，偏导数必存在； ，B=；dz=yxyx偏导数存在，不一定可微 偏导数连续，全微分必存在 求方向导数、梯度 三、多元复合函数与隐函数求导法则 1多元复合函数的求导法则 zzuzv=+ xuxvxzzuzv=+ yuyvy对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数的求导法要熟练掌握 掌握多元复合函数的二阶偏导数的求法 2隐函数的求导公式 一个方程的情形 若F(x,y)=0确定了y=y(x)，则Fdy=-x； dxFyFyFxzz=- 若F(x,
4、y,z)=0确定了z=z(x,y)，则=-，xFzyFz方程组的情形 若F(x,y,z)=0y=y(x)能确定，则由 G(x,y,z)=0z=z(x)dydzF+F+F=0yzx dxdxdydzGx+Gy+Gz=0dxdx 可解出dydz与；dxdx)=0F(x,y,u,v uv若确定了u=u(x,y)，v=v(x,y)，像上边一样，可以求出，xxG(x,y,u,v)=0及uv， yy四、多元函数微分法的应用 1几何应用 空间曲线的切线与法平面方程 1：曲线G：x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)，t=t0时，G上相应点(x0,y0,z0)处的切线方程：x-x0y-y0z-z0 =j(t
5、0)y(t0)w(t0)法平面方程：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0 2：曲线G：y=j(x)x-x0y-y0z-z0，则点(x0,y0,z0)处的切线方程： =1f(x0)y(x0)z=y(x)法平面方程：(x-x0)+f(x0)(y-y0)+y(x0)(z-z0)=0 3：曲线G：F(x,y,z)=0，则点P(x0,y0,z0)处的切线方程为 G(x,y,z)=0x-x0FyFzGyGz=Py-y0FzFxGzGx=Pz-z0FxFyGxGyP法平面方程：FyGyFzGz(x-x0)+PFzGzFxFx(y-y0)+GxGxPFyGy(z-z0)=
6、0 P空间曲面的切平面与法线方程 1：曲面S：F(x,y,z)=0，点(x0,y0,z0)处的切平面方程为： Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0 法线方程：x-x0y-y0z-z0= FxFyFz2：曲面S：z=f(x,y)，在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0) 法线方程为：2极值应用 x-x0y-y0z-z0= fxfy-1z=0x求一个多元函数的极值：先用必要条件，求出全部驻点，z=0y再用充分条件求出驻点处的zxx，zyy与zxy
7、；AC-B20，A0时有极小值； AC-B20时无极值 求最值 1：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2：有实际意义的最值问题 条件极值 求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法 如：u=f(x,y,z)在条件j1(x,y,z)=0与j2(x,y,z)=0下的极值时，取 F(x,y,z;l1,l2)=f(x,y,z)+l1j1(x,y,z)+l2j2(x,y,z) Fx=0F=0y解方程组Fz=0，求出x，y，z j=01j2=0则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大值点 第九章 重积分 一、二重积分 1 定义：f
8、(x,y)ds=llimf(x,h)DsD0(n)i=1iiDni2 几何意义：当f(x,y)0时，曲顶柱体体积 f(x,y)ds表示以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量 3 性质 1：2：kf(x,y)ds=kf(x,y)ds DDf(x,y)g(x,y)ds=f(x,y)dsg(x,y)ds DDD3：若D=D1+D2，则4：f(x,y)1时，f(x,y)ds=f(x,y)ds+f(x,y)ds DD1D2f(x,y)ds=sDD 5：若在D上j(x,y)y(x,y)，则 j(x,y)dsy(x,y)dsDDf(x,y)dsDf(x,y)d
9、sD6：若f(x,y)在闭区域D上连续，且mf(x,y)M，则 msDf(x,y)dsMsD D7：若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(x,h)D，使 f(x,y)ds=f(x,h)sDDy4 二重积分的计算法 在直角坐标系中 1：若积分区域D为X-型区域 y=j2(x)axb D：j(x)yj(x)21则化为先y后x的二次积分：bOay=j1(x)bX-型区域xDf(x,y)dxdy=dxaj2(x)j1(x)f(x,y)dy2：若积分区域D为Y-型区域 ydcyd D：y(y)xy(y)21则化为先x后y的二次积分： dcx=y1(y)cOY-型区域x=y2(y)f(x,y)dxdy
10、=Ddyy2(y)xy1(y)f(x,y)dx 在极坐标系中 f(x,y)=f(rcosq,rsinq),ds=rdrdq 1：极点在D外： D：则有 aqbj1(q)rj2(q)bj2(q)1(bf(rcosq,rsinq)rdr Of(x,y)ds=adqjqDa极点在D外)r2：极点在D的边界上： aqb D：0rj(q)则有 bj(q)0bf(rcosq,rsinq)rdr OarDf(x,y)ds=dqa极点在D的边界上3：极点在D内： 0q2p D：0rj(q)则有 2p0Df(x,y)ds=dqj(q)0Of(rcosq,rsinq)rdr 极点在D内r在计算二重积分时要注意：
11、1：选系：是直角坐标系还是极坐标系； 若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有x+y或两个积分变量之22比yx、时，一般可选择极坐标系 yx2：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴对称时，应配合被积函数对于y的奇偶性 4：若f(x,y)=f1(x)f2(y)，积分区域D:分的乘积 二、三重积分 1 定义：naxb,则二重积分可化为两个定积cydf(x,y,z)dv=llimf(x,h,V)DvW0(n)i=1iiii2 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体W的质量 3 性质
12、 4 三重积分的计算法 在直角坐标系中 1：若W为：zz=z2(x,y)(x,y)Dxyz1(x,y)zz2(x,y)此处Dxy为W在xOy面上的投影， Oz=z1(x,y)yDxyz=z1(x,y)与z=z2(x,y)分别为W的 下界面和上界面方程，则 xWz2(x,y)f(x,y,z)dxdydz=f(x,y,z)dzdxdy z1(x,y)DxyC1z0C22：若W为： (x,y,z)D0z0此处Dz0为用平面z=z0截W时所得的截面面积， 则zC2Dz0z0Wf(x,y,z)dxdydz=dzf(x,y,z)dxdy C1Dz0C2C1O在柱面坐标系下 yxaqb若W为：j1(q)rj2(q)，则 z(r,q)zz(r,q)21Wf(x,y,z)dxdydz=dqabj2(q)j1(q)rdrz2(r,q)z1(r,q)f(rcosq,rsinq,z)dz 在球面坐标系中 a1qa2b1jb2若W为：，则 r(q,j)zr(q,j)21f(x,y,z)dxdydz=aWa21dqdjb1b2r2(q,j)r1(q,j)f(rsinjcosq,rsinjsinq,rcosj)r2sinjdr注：1：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求； 2：三重积分的计算也有选系、选序的问题； 3：积分区域的对称性与被积函
