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1、初中数学竞赛辅导资料（34）反证法内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：AB例如原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤： 反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证
2、明时 假设这两直线不平行； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从而肯定，非平行不可。例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图12A1B求证：ABCD证明：设AB与CD不平行C2D那么它们必相交，设交点为MD这时，1是GHM的外角A1MB12G这与已知条件相矛盾2AB与CD不平行的假设不能成立HABCDC例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出
3、矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)当m=3k+1时，m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：不是有理数证明：假设是有理数，那么（a,b是互质的整数），=,（）22， a2=2b2, a2是偶数，a2是偶数， a也是偶数，设a=2k（
4、k是整数）,a2=4k2, 由a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶数， b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立不是有理数例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k1）, 且k,a,b都是正整数，即，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1时，积才能等于13b-2a=1,k=1分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数练习341.写出下列各命题结论的反面：命题的结论结论的反面直线a b
5、线段m=na2是偶数A是锐角点A在O上A，B，C至少有1个大于或等于60正整数m是5的倍数方程没有有理数根至少有一个方程两根不相等2.已知：平面内三个点A，B，C满足ABBCAC，求证：A，B，C三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4. 求证：一个圆的圆心只有一个5. 求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度6. 如果a2奇数，那么a也是奇数 （仿例3）7. 求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例4)8. 已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)求证a,b,c至少有一个偶数 a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没
6、有正整数解10.求证 方程x2+y2=1991 没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BDAC+CD 求证：ABAC13.已知：抛物线y=x2(m3)xm求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上(福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有
7、一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称内容提要1. 轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这
8、个点就是它的对称中心。3. 性质：成轴对称或中心对称的两个图形是全等形对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等例题例1. 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD的交点O，在对称轴MN上ACBDDNCAOB和COD都是等腰直角三角形，OM和ON是它们的斜边中线OOMAB
9、，ONCDMN（ABCD）AMB梯形中位线与高相等例2. 已知矩形ABCD的边AB6，BC8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长解：折痕EF是对称点连线AC的中垂线连结AE，AECE，设AEx,则BE8x在RABE中，x2=(8-x)2+62 解得x=，即AE在RtAOE中，OEEF2OE7.5例3. 已知：ABC中，ABAC,过点A的直线MNBC，点P是MN上的任意点求证：PBPC2AB 证明：当点P在MN上与点A重合时，PBPCABAC，即PBPC2AB当P不与A重合时作点C关于直线MN的对称点C，则PC，PC，AC，ACABPAC，PACACBPAC，PACBAC180B，A，
10、C，三点在同一直线上PBPC，BC，即PBPC2ABPBPC2AB例4. 已知：平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4求证：P4与P0重合证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点ABP0P2CD连结P0P3，取P0P3的中点D，连结D，C，则D，CP0P2CD，和CD重合，P4和P0重合例5. 正方形ABCD的边长为a 求内接正三角形AEF的边长解：正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，
11、直线AC是它的公共对称轴， 可知ABEADFBEDF，CECF设等边三角形AEF边长为x ，根据勾股定理得CE2CF2x2,CE=,BE=a 在RtABE中，x2=( a)2+a2x2+2ax4a2=0由根公式舍去负根，得x=() a答：等边AEF的边长是()a练习351. 下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有属中心对称而不是轴对称图形的有既是轴对称又是中心对称的图形有线段角等腰三角形等腰梯形矩形菱形平行四边形正三角形正方形圆2. 坐标平面内，点A的坐标是（xa，yb）那么点A关于横轴的对称点B的坐标是（）点A关于纵轴的对称点C的坐标是（）点A关于原点的对称点D的坐标是（）3. 坐标平面内，点M（a,b）与点N（a,b）是关于的对称点点P（m3,n）与点Q（3m,n）是关于的对称点4. 已知：直线m的同一侧有两个点A和B求作：在m上一点P，
