典型例题透析ﻫ类型一、指数式与对数式互化及其应用 1.将下列指数式与对数式互化： （1）;(２)；（3)；（４);(５);(6)．ﻫ 思路点拨:运用对数的定义进行互化. 解:（1);（2);(３）;(4);(5）; (６). 总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的根据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.ﻫ举一反三:【变式1】求下列各式中x的值:ﻫ (1) (2） (3)lg100=x (4) 思路点拨:将对数式化为指数式，再运用指数幂的运算性质求出x.ﻫ 解:(1)； (２)；ﻫ (3)１０ｘ=1００＝１02，于是ｘ=２； (4）由．ﻫﻫ类型二、运用对数恒等式化简求值 2．求值： 解：.ﻫ 总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中具有对数形式；③其值为真数.举一反三:ﻫ 【变式1】求的值(a,ｂ，c∈Ｒ+,且不等于１，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.ﻫ 解：．ﻫ类型三、积、商、幂的对数ﻫ 3.已知lg2＝a,lg3＝b,用ａ、b表达下列各式. ﻫ (1)lg9 (2)ｌg64 （３)ｌg６ (4)lｇ1２ (5)lg5 (6) lｇ15ﻫ 解:(1)原式=ｌｇ32=2lg3=２b(2）原式=lｇ2６=6ｌg2=６a （3)原式=ｌg2＋lg３=a＋b（4)原式＝lg22+lg3=2a＋bﻫ (５)原式=１-ｌg2＝１－a（６）原式=ｌｇ3＋lg5=lg３+１-lg2＝1+ｂ-aﻫ举一反三：ﻫ 【变式1】求值 (１) （2)lg2·lg50＋(lg5)2 (３)lg25＋ｌg2·lg5０+(ｌg２)2 ﻫ 解： (1） (２)原式=lｇ2（1+lｇ5)＋(lｇ５）2＝lg2+lg2lg5+(lg5)2=lｇ2+lg5(lg2＋lg5)=lg２+lg５=１ﻫ (3)原式=２ｌg5+ｌｇ2（1+lg５)+(lg２)２ =2lg5+lg2+lｇ2lｇ5+(lg2)２=1+ｌg5+lｇ2(ｌg5+ｌg2）=1+ｌg5+ｌｇ2=２．ﻫﻫ 【变式2】已知３a=5b=c，,求c的值.ﻫ 解:由3a=c得： 同理可得 .ﻫ 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2＋ｂ２＝c２.求证:.ﻫ 证明： .ﻫ 【变式4】已知：a２+b２＝7ab,a>０,b>０. 求证：. 证明：∵ a2＋b２=7aｂ, ∴ a2+2ab+b2=9ab,即 (a+b)2＝９aｂ, ∴ lg(a＋b)2=ｌg(9ab),ﻫ ∵ a>0，b>0， ∴ ２lg（a+b)=ｌg9+lga＋lｇb ∴2[lg(a＋ｂ)-ｌg3］=lga+lｇb 即 .ﻫﻫ类型四、换底公式的运用ﻫ 4．(1)已知logxy=a， 用a表达； ﻫ (2)已知logａｘ=m, ｌogｂx=ｎ， loｇcx=p, 求lｏgaｂcx． 解:(1)原式=; (２)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底．ﻫ 措施一：am=ｘ， bｎ=x， cp=x ∴， ∴ ； 措施二:．ﻫ 举一反三: 【变式1】求值:(1);(2）；(3). 解: (１） (2)；ﻫ (3)法一：ﻫ 法二:． 总结升华：运用换底公式时，理论上换成以不小于0不为1任意数为底均可，但具体到每一种题，一般以题中某个对数的底为原则，或都换成以10为底的常用对数也可．类型五、对数运算法则的应用ﻫ ５．求值ﻫ (1) ｌｏｇ89·lｏg273２ （２)ﻫ （3) (4)(log２１２5+ｌoｇ4２5+loｇ85）(log１258+log254+loｇ52) 解：(1）原式=.ﻫ (2)原式= （3)原式= (4）原式=(lｏg212５+ｌｏg425＋ｌｏg8５)(log１258+log254+log52)ﻫ ﻫ 举一反三: 【变式１】求值:ﻫ 解:ﻫ 另解:设 ＝m (m＞0).∴ ， ∴ ,∴ ，ﻫ ∴ ｌｇ２=lｇm, ∴ 2=m，即．ﻫ 【变式2】已知：log23=a， lｏg37=b，求：log4２56＝? 解:∵ ∴, 类型六、函数的定义域、值域ﻫ 求具有对数函数的复合函数的定义域、值域，其措施与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数函数自身的性质（如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.ﻫ 6． 求下列函数的定义域： ﻫ (１); (2）. 思路点拨:由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.ﻫ 解：(1)由于x２>0，即ｘ≠0,因此函数；ﻫ （2)由于４-x>0，即ｘ<４，因此函数. 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域．ﻫ (１) y= (2) y＝ｌn(ax-k·2ｘ）(a>０且a¹１,kÎＲ）． 解:(1)由于， 因此，ﻫ 因此函数的定义域为(1,）(，２).ﻫ (2）由于 aｘ-k·2x＞0, 因此()x＞ｋ. ［1]当k≤0时，定义域为R;ﻫ [２]当k>0时, （i)若a＞2,则函数定义域为(k,+∞); (ii)若0＜a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；ﻫ (iii）若a=2，则当00且a≠1) 思路点拨:由数形结合的措施或运用函数的单调性来完毕. (1)解法1：画出对数函数y＝log２ｘ的图象,横坐标为3．４的点在横坐标为8.５的点的下方,ﻫ 因此，loｇ23.4loｇ0．32.7; (3)注：底数是常数,但要分类讨论a的范畴,再由函数单调性判断大小.ﻫ 解法1:当ａ>１时，ｙ=lｏｇax在(０，＋∞)上是增函数，且5.１<5.９，因此,lｏga5．1loga5．9ﻫ 解法2:转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小,ﻫ 令b１＝loga5.1，则，令b２=loga5.9，则ﻫ 当ａ>1时,ｙ=ａx在Ｒ上是增函数，且5．1<5.9ﻫ 因此,ｂ１<ｂ２,即 当０＜a<1时,y=ax在R上是减函数，且5.1<５.9 因此，b1>ｂ2,即.ﻫ 举一反三：ﻫ 【变式1】（ 天津理 7）已知则( ) A. Ｂ. C. D．ﻫ 解析：另，,，在同一坐标系下作出三个函数图像， 由图像可得 ﻫ 又∵为单调递增函数, ∴ 故选C.ﻫ ９. 证明函数上是增函数． 思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同步熟悉运用对函数单调性比较同底数对数大小的措施. 证明:设，且x1<ｘ２ 则 又∵y＝log2ｘ在上是增函数ﻫ 即f(x1)0且a≠1),试判断函数f(x）的单调性． 解:设t＝ｌoｇax(ｘ∈Ｒ+, ｔ∈R).当a>1时,ｔ=lｏgax为增函数，若t1１或0＜a<1, ｆ(x）在R上总是增函数.ﻫ １０．求函数y=(-x２＋２x+3)的值域和单调区间. 解:设t＝－x２+2x+3，则t＝-(x-1)2＋4.∵ y=t为减函数,且00,即-１0的解集为R，这是不等式中的常规问题.ﻫ f（x）的值域为Ｒ与aｘ2+2x+１恒为正值是不等价的，由于这里规定f(ｘ)取遍一切实数， 即规定ｕ=ax2＋2x+1取遍一切正数,考察此函数的图象的多种状况，如图,我们会发现， 使ｕ能取遍一切正数的条件是.ﻫ ﻫ 解：（1)。