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1、高一数学教案2 1。2 子集、全集、补集 【教学目的】1.了解集合的包含、相等关系的意义；2.理解子集、真子集、补集的概念；3.了解全集的意义；4.深刻理解用集合语言叙述数学命题，能熟练地进行集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）之间的转换，及利用集合的相等关系化简集合的表达式。 【重点难点】重点是子集、补集的概念，难点是分清元素与子集、属于与包含的关系，及理解用集合语言叙述数学命题，并能准确的把它译成相应的集合的三种语言。【教学过程】一、 问题引入集合中元素与集合间的关系是属于或不属于关系，那么集合与集合间有那些关系呢？用什么方式去刻画集合与集合间的关系呢？用元素与集合间的关系来刻画
2、集合与集合间的关系。观察集合A=平行四边形与B=四边形，思考A中元素与集合B的关系如何？ 二、子集概念1。定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作 AB（或BA）这时也说集合A是集合B的子集。规定空集是任何集合的子集，即 。 显然，AA。2。相等集合：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，则称集合A等于B，记作A=B。即 若AB，且BA，则A =B。3。真子集：对于两个集合A与B，如果A，且A，那么称A是B的真子集，记作A B. 4。讨论举例
3、 例1。用子集的定义判断以下集合间的关系，并用适当的符号表示出来，画出其维恩图： （1）A=平行四边形，B=四边形，C=矩形、D=正方形、E=菱形；（2）A=x| x=2k, kZ,B=x| x=2k1,kZ; (3) A=整式，B=方程，C=整式方程；D=分式方程； （4）N，Z，Q，R；（5）A=x | x = n,n,B=x | x = n,n.解：（1）E、C，且C、E AB。如图（1）。（2）AB，且BA。如图（2）。（3）AB，且BA。C、DB。如图（3）。（4）NZQR。如图（4）。（5）A=B。如图（5）。点评：注意区分符号、的意义；学会运用维恩图直观地表示集合间的关系。例2。
4、化简下列集合：（1） A=；（2） A=x | 2x34x1.点评：用集合相等的概念可以将集合进行变形、化简。例3. 已知1,1d,12d，B=1，q，,若，求p，q 的值。分析：由知，与含有相同的元素。于是可以建立p与q的方程。解：， () 或 () 解 () 得 d=0. 但d=0 时,1+d=1+2d=1与集合中元素的互异性相矛盾。解（）得 d=或d=0(舍去)。当d=时，q=d=， q=点评：注意用列举法所表示的集合中，隐含着性质：元素a、b、c、互异、无序，本题正是利用无序性分类讨论列方程，根据互异性检验所求结论的 . 例4。已知集合A=，B=,若AB，求的取值范围。分析：先化简集合
5、B，再根据题设列出控制的条件组求解。解：方程的两根为。于是，（1）当时，B=。AB， 2；（2）当=0时，B=，不可能有AB；（3）当时，B=。 AB， 此不等式组无解。 综合得，2。点评：借助数轴来表示集合间的包含关系，直观简明，但要注意端点的取舍情况。5、有关子集个数问题例5。（1）写出集合a、b、c的所有子集，并指出其子集、真子集、非空真子集的个数；(2) 集合1、2、3、n的子集、真子集、非空真子集分别有多少个？(3) 求集合1、2、3、4的所有子集的所有元素之和。点评：一般地，集合1、2、3、n的子集、真子集、非空真子集的个数分别为、1、2. 所有子集的所有元素之和为(1232n)。
6、例6。证明：（1）若AB，BC，则AC。 （2）集合X=，Y=，则X=Y。分析：分别按子集、相等集的定义来证明。（1）要证明AC，需要证明A中任何一个元素都是C中的元素。阅读教材的证明。（2）证明：设x0 X,则x0 =2n0 +1, n0 Z.若n0 为偶数，可设n0 = 2 m, m Z，则x0 = 2 2 m + 1 = 4m + 1, x0 Y ；若n0 为奇数，可设n0 = 2 m 1 , m Z，则x0 =4 m 1, x0 Y 。 不论x0 是奇数还是偶数，都有x0 Y 。 X Y。另一方面，又设y0 Y , 则 y0 =4 k0 1 ,或y0 =4k0 1 , k0 Z。 y0
7、= 4 k0 1 = 2（2 k0） 1 ，或 y0 =4k0 1 = 2（2 k0 1） 1，2 k0 、2 k0 1 Z， y0 X。Y X。 由、 得 X=Y。 点评：判定集合间的关系，一般应依据定义进行，但其判定的过程归结为判定元素与集合的关系。三、全集与补集 1引例数集的扩充将自然数集N扩充到整数集Z，其补充的数集为负整数集如何表示整数集？；这里涉及三个集合：负整数集、N及Z，前两个集合都是Z的子集。称负整数集为Z中子集N的补集。类似地，由Z扩充到Q也需要补充数集：；同样的，由Q扩充到R，也需要补充数集：无限不循环小数即无理数集。1 集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集，由S
8、中所有不属于A的元素组成的集合 ，叫S中子集A的补集（或余集）。记作CSA。 即 CSA=。注意：补集概念涉及3个集合，其中A是S的一个子集，即 AB. 性质：CSS=，CS =S，CS（CSA）=A。 CZN= = 。 CRQ=无理数 =无限不循环小数。 请举出一个补集的例子。1 全集 相对概念 阅读教材P9全集概念 如数集的扩充中全集的相对性。2 巩固练习例7设U=三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，斜三角形，求：CUA，CUB，CUC，CUD。例8.已知集合A=，（1）若,求a 的取值范围；（2）若CUACUB, 求a 的取值范围. 分析：紧扣子集、全集、补集的定义，利用数形结合解出a的范围。 解：（1）因为, A是B的子集，如图（1）得 (2) 因为CUA=，CUB=，CUACUB，所以CUA是CUB 的真子集。如图（2）得 a 3. 点评：这类问题应注意数形结合，以及端点的取舍情况。 四、归纳小结：1.要准确把握子集、真子集、相等集、补集等相关概念；2.要理解符号 ：，= ，CUA等的含义；3.要注意集合语言转译的准确性。五、思考与练习1
