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1、考试试题纸（卷）课程名称线性代数0111、设D、设A且adbc2，贝UA-13已知，1组的通解为g是三元齐次线性方程组Ax0的两个不同的解，且r（a）2，则该方程2、已知向量组a(1,0,0)T，a(1,0,1)T，a(1,2,0)t，a(1,3,1)t，贝UR(a,a,a,a)相似，则A-2E1234_、设三阶方阵A与对角阵Adiag（1,1,3）二、单项选择题（每小题分，共分）、设aa，a是维列向量,1,2=1，则2aa，,a1,2n=(）。、设|aI2，(A0)1，则A-10AJ1/2，A=(）。）。是向量空间R3的一个基，则下列仍是R3的一个基的是（aaa,一2a,aaa1232123
2、aa,aa,2a2a122313aa,2aaa,aa121、一次型f=x2+4x2+4x2+2txx-2xx+4xx是正定次型,123121323则t应满足（）。、设为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且R（A）n-2，则A*的秩为（）。9A=2，计算1A*,(A)-13、设a为n阶方阵，且ex=(1,a,2,3a)T，2四、何值时,能由a,a,a线性表示,123已知线性方程组且表示唯一，并求出表示式。三、计算题每小题分,共分31121已知A是行列式D=5132的元素a(/,j=1,2,3,4)ij的代数余子式，计算A3A,A20111323332531010112设A=111，B=20，求矩阵X
3、，使其满足X=AX+B；:-10-1J:53J9、设a=(1,2,0)t，1a=(1,b2,a+2b)t，=(1,3,3)t，求:399ax+x+x1230，证明:、（分）设A为2n,1阶方阵，且AAt=E，河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸11、填空题（每小题课程名称:线性代数A卷）分，共5分）11、3；2c(-E1211二、选择题（每小题分，5分）三、解答题（每小题分，2分）2A3A+A=13233331153分）8分）2分）X=AX+B(EA)X=B(11011,(10120，101200111110253丿00333丿因(EA,B)=6分）0-1丿（8分）1因A*=AA1=2
4、A-1,（分）所1A*,（-35A-1=5n（分）.（分）A-15n2分）A=（，121分）解法一：r11-11、r11-11、2a+2-b-230a-b10-3aa+2b一3丿0-3aa+2b一3丿.a（A,卩）=因因4分）故当a丰0且b丰a时，方程组有唯一解，即卩能由，线性表示，且表示式唯123因因一；.（6分）此时，（A卩，11P=（1-）+a1a2r10一1、a010110，a0010丿8分）I1111、I11一11、(A,卩)=2a,2b230a一b1、0一3aa,2b一3k0一3aa,2b一3丿即能由,线性表示，且表示式123此时，I11a2、kk01一aa一10kk00(1一a)
5、(a,2)3a一3分）解法111A=2a+2一b一2=a(ab)0一3aa,2b（分）故当a丰0且b丰a时，方程组（）有唯一解,唯一；（分）(1、I1001a4分)0101a0010k丿11=(1)+a1a28分)四（14分）、Ia11、Ia11a-3、系数矩阵为A=kk1a1，增广矩阵为B=kk1a1一2，kk11akk11a一2k丿k丿I11a-2、1)解法一Bkk0a一11一a0kk01一a1一a23a一3当a丰1且a丰一2时，R（B）=R（A）=3，方程组有唯一解;当a2时,当a1时,1110002、0,解军a11A=1a1=(a+2)(a1)2,11a解。(分)4分)R(B)=3,R
6、(A)=2，方程组无解；R(B)=R(A)=13，方程组有无穷多个法二当a丰1且a丰一2时，A丰0,R(A)=3=R(B)，2115、,1122)12分）2120330、112-2丿000-9丿方程组有唯一解；，R(B)=3,R(A)=2，当a=2时，B=方程组无解；解。,1112、,1112、=11120000，R(B)=R(A)=13，方程1112丿0000丿丿有无穷多个分)B当a=1时,)在方程组有无穷多个解时，得同解方程组x一x一x一2，取x=x=0，得原2323耳*=(-2)t；9分)=x一x中取(x,223x)T3(1,0)T,(0,1)T，得原方程组对应齐次线性方组的1，(-1,
7、0,1)丁；2分)所以原方程组的通解为x=c+cg+耳*，c,c为任意常1122122数。（分）注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。52分）矩阵分）（2）52A=22，104丰0,R(A)，2秩为3分）九，1时，15-九222-九，（九一1）（九一6）,分）由A九E解方程（A-E）X，的特征值为入，1,142、21)2*1丿00丿，得基础解系0，由A6E,(-1,巧;当九，6时,2解方程（A6E）x，12、12、2-4丿00丿，得基础解系0，由A-6Egg1,2p12丿p2则有正交阵P，和正父变换x，Py，把f化为标准形f=y12+6y2214分）注：此题基础解系有很多种表示形式六
8、、证明题故正交阵P有多种形式，改卷时需注意。、（分）证法一：由其次线性方程组解的性质知卩，aaa,112323，a+a+a，a+a都是Ax，0的433414342分)，AK(卩1,卩)，A=(a,a,a,a),34123410因K，10,所以可逆,12341R(K)，4,所以可逆，从而R(B)，R(A)是Ax，0的一个基础解系，故它们线性无关，R(A)，4，于是R(B)，4，解向量组卩，卩，卩，卩线性无关，故是该方程组的一个基础解1234系。6分)证法二：由其次线性方程组解的性质知1，a+a+a，12323Ax，0342分)112233(k+k)a+(k+k)a131122因为a,a,a,a是Ax1234k+k，013k+k，012k+
