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1、2015-2016学年度第二学期八年级数学教案 学校 姓名 时间 171一元二次方程学习目标1了解一元二次方程及相关概念；(重点)2能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型(难点)教学过程一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃， 它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为(x2)m. 根据题意，得x(x2)120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】 一元二次方程的识别 下列方程中，是一元二次方程的是_(填入序号即可)y0；2x2x30；3；x223x；x3x40；t22；x23x0；2.
2、解析：由一元二次方程的定义知不是答案为.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式，则这个方程就是一元二次方程【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x2x2ax3；(2)(a1)x|a|12x70.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a2)x2(a1)x30，当a20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|12，且a10知，当a1时，原方程是一元二次方程解：(1)将方程整理得(a2)x2(a1)x30，a20，a2.当a2时，原方
3、程为一元二次方程；(2)|a|12，a1.当a1时，a10，不合题意，舍去当a1时，原方程为一元二次方程方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值【类型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项(1)x(x2)4x23x；(2)；(3)关于x的方程mx2nxmxnx2qp(mn0)解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项解：(1)去括号
4、，得x22x4x23x.移项、合并同类项，得3x2x0.二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为0；(2)去分母，得2x23(x1)3(x1)去括号、移项、合并同类项，得2x20.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(mn)x2(mn)xpq0.二次项系数为mn，一次项系数为mn，常数项为pq.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一
5、次项bx，则b0；若没有出现常数项c，则c0.探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型 如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(192x)cm，宽为(152x)cm.根据题意，得(192x)(152x)81.整理得x217x510(0x)方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地
6、找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围探究点三：一元二次方程的根 已知关于x的一元二次方程x2mx30的一个解是x1，求m的值解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等本题将x1代入原方程，可得关于m的一元一次方程，解得m的值即可解：根据方程的解的定义，将x1代入原方程，得12m130，解得m4，即m的值为4.方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法17.2 一元二次方程的解法第一课时 配方法学习目标1学会用直接开平方
7、法解形如(xm)2n(n0)的一元二次方程；(重点)2理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程(难点)教学过程一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h5x2，问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程：(1)x2160; (2)3x2270；(3)(x2)29; (4)(2y3)216.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况解：(1)移项，得x21
8、6.根据平方根的定义，得x4，即x14，x24；(2)移项，得3x227.两边同时除以3，得x29.根据平方根的定义，得x3，即x13，x23；(3)根据平方根的定义，得x23，即x23或x23，即x15，x21；(4)根据平方根的定义，得2y34，即2y34或2y34，即y1，y2.方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：x2a(a0)；(xa)2b(b0)；(axb)2c(c0)；(axb)2(cxd)2(|a|c|)探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】 用配方法解一元二次方程 用配方法解下列方程：(1)x22x350
9、；(2)3x28x30.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(xm)2n(n0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程解：(1)移项，得x22x35.配方，得x22x123512，即(x1)236.直接开平方，得x16.所以原方程的根是x17，x25；(2)方程两边同时除以3，得x2x10.移项，得x2x1.配方，得x2x()21()2，即(x)2()2.直接开平方，得x.所以原方程的根是x1，x23.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转
10、化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方【类型二】 利用配方法求代数式的值 已知a23ab20，求a4的值解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可解：原等式可以写成：(a)2(b)20.a0，b0，解得a，b.a44.方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围 请用配方法说明：不论x取何值，代数式x25x7的值恒为正解
11、析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式解：x25x7x25x()27()2(x)2，而(x)20，(x)2.代数式x25x7的值恒为正方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值第二课时 公式法学习目标1理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)2会用公式法解一元二次方程；(重点)教学过程一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax2bxc0(a0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知ax2bxc
12、0(a0)且b24ac0，试推导它的两个根x1，x2.二、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式 方程3x287x化为一般形式是_，其中a_，b_，c_，方程的根为_解析：将方程移项化为3x27x80.其中a3，b7，c8.因为b24ac4943(8)1450，代入求根公式可得x.故答案为3x27x80，3，7，8，x.方法总结：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根探究点二：用公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程：(1)3x25x20；(2)2x23x30；(3)3x212x30.解：(1)将3x25
13、x20两边同乘以1得3x25x20.a3，b5，c2，b24ac5243(2)490，x，x1，x22；(2)a2，b3，c3，b24ac32423924150，原方程没有实数根；(3)a3，b12，c3，b24ac(12)2433108，x2，x12，x22.第三课时 因式分解法学习目标1理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)2会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程(重点)教学过程一、情境导入我们知道ab0，那么a0或b0，类似的解方程(x1)(x1)0时，可转化为两个一元一次方程x10或x10来解，你能求(x3)(x5)0的解吗？二、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程 用因式分解法解下列方程：(1)x25x0；(2)(x5)(x6)x5.解析：变
