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1、wordARCH模型和GARCH模型Robert F. EngleClive W. J. Granger本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。引子-问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述， yt=yt-1+t其中t为白噪声过程，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列与差分序列见图1和图2。图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图2日元兑美元汇率差分序列
2、收益D(JPY)图3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图4D(JPY)的平方 (1995-2000)这种序列的特征是1过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。2按时间观察，表现出“波动集群volatility clustering特征，即方差在一定时段中比拟小，而在另一时段中比拟大。3从取值的分布看表现的如此是“顶峰厚尾leptokurtosis and fat-tail特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出顶峰厚尾分布示意图。正态分布曲线 顶峰厚尾分布曲线 图5 顶峰厚尾分布特征示意图显然现期方差与前期的“波动有关系。描述这类关系的
3、模型称为自回归条件异方差ARCH模型Engle 1982年提出。使用ARCH模型的理由是：1通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以与决策的代价有多大；2可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；3对条件异方差进展正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方差或者波动率Condition variance，volatility定义为其中是信息集。2、ARCH模型的定义Engle1982提出ARCH模型autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差
4、。ARCH(q)模型： 1的无条件方差是常数，但是其条件分布为 2其中是信息集。方程1是均值方程mean equation ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程2是条件方差方程conditional variance equation，由二项组成 常数 ARCH项：滞后的残差平方由于t2 的非负性，对ai应有如下约束，0,ai0, i = 1, 2, q当全部ai= 0, i = 1, 2, ,q时，条件方差st2 =。因为方差是非负的，所以要求 0。3、ARCH模型的平稳性条件为保证st2是一个平稳过程，(2) 式的特征方程 1-a1L-a2L2-aqLq=0 的根都应在单位圆之
5、外。对ai, i = 1, 2, ,q的另一个约束是 0 a1+a2+aq1 对(2) 式求期望，st2 =+ a1 E(t -1 2) + a2E(t-22) + + aq E(t - q2) =+ a1 st -1 2+ a2st-22+ + aq st - q2当T 时， s2 =+ a1 s 2+ a2s 2+ + aq s 2如此无条件方差可见假如保证st2是一个平稳过程，应该有约束0 (a1 + a2+ + aq ) 1。因为Var(yt)= Var(t)= st2，所以上式可以用来预测yt的方差。综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有1) 1-a1L-a2L2-aqLq
6、=0 的根都应在单位圆之外。2) 0 a1+a2+aq0,ai0, i = 1, 2, q例1 ARCH(1)模型中参数的含义：当时，当时，退化为传统情形，4、ARCH效应检验ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验建立辅助回归方程此处是回归残差。原假设：H0：序列不存在ARCH效应即 H0：可以证明：假如H0为真，如此此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程确实定系数。Eviews操作：先实施多元线性回归view/residual/Tests/ARCH LM Test2、ARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。series r=log(p)-log(p(-1)点击序
7、列p，然后view/line graph1、检验是否有ARCH现象。首先回归。取2000到2254的样本。输入ls r c，得到Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:26Sample: 2000 2254Included observations: 255VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. CR-squared Mean dependent varAdjusted R-squared S.D. dependent varS.E. of regre
8、ssion Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterionLog likelihood Durbin-Watson stat问题：这样进展回归的含义是什么？其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:F-statistic ProbabilityObs*R-squared ProbabilityTest Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:27Sample
9、(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. CRESID2(-1)RESID2(-2)RESID2(-3)RESID2(-4)RESID2(-5)RESID2(-6)RESID2(-7)RESID2(-8)RESID2(-9)RESID2(-10)R-squared Mean dependent varAdjusted R-squared S.D. dependent varS.E. of regres
10、sion Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterionLog likelihood F-statisticDurbin-Watson stat Prob(F-statistic)得到什么结论？2、模型定阶：如何确定q实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的pvalue即可。此处选取q3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的参数估计参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。如何实施ARCH过程：由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选
11、取ARCH得到如下结果Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:48Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 13 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C Variance EquationCARCH(1)ARCH(2)ARCH(3)R-squared Mean dependent varAdjusted R-squared S.D. dependent v
12、arS.E. of regression Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterionLog likelihood Durbin-Watson stat为了比拟，观察将q放大对系数估计的影响Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:54Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 16 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C Variance EquationCARCH(1)ARCH(2)ARCH(3)ARCH(4)ARCH(5)R-squared Mean dependent varAdjusted R-squared S.D. dependent varS.E. of regression Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterionLog likelihood Durbin-Watson stat观察：说明q选取为3确实比拟恰当。4、ARCH模型是对的吗？如果ARCH
