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1、曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究例题1 （2013天津预赛5）如果曲线y 2sinx的两条互相垂直的切线交于点P,则P点的坐标不可能2是（）(A)，(B) 3(C) 5 ,(D) 7解析 设曲线y 2sin x在点A（xi,2sin仝）,B（X2,2sin X2）的切线交于点P,那么由题意可知：k*21，2 2 2其中 ki cosX1, k22X2cos；2即有XiX2cos cos 22xx又 1 co可 1,1 cos; 1，则有 1Xi coscosX21，当且仅当co斜|cos竺222|2|1 .1时，等号成立因此，当cos XiX2 cos 221时,那么X1X2cos c
2、os22x. 2k1，即可知X2 2(k 1)评注例题2（ 2013山东预赛10）假设实数b，c满足b2c 1，且f (x) ax bsinx ccosx的图象上存在两条切线互相垂直，则a的取值范围是解析 f (x) ax bsinx ccosx ax .b2 c2 sin(x）ax sin（x ）；设图象上两条切线在曲线上的切点分别为A(x.,y.), B(x2,y2)，则有k.k2f x.f x21 .即:a cos(x.) a cos(x2)1 在中，令tiCOS（Xi9),(i1,2)，展开后有 aa(tit?)临 10，由a R可知0,又2(t1 t2) 4(t1t2 1)(tit2
3、)24 在中，由于ti 1,1，那么ti t2 2，即魚t2）4 0，因此由可知0 ,tit21，代入到中解得a 0.综上可知：a的取值范围是a 0.评注此题可溯源到如下例题：例题3已知函数f(x) x3 ,(I)记(x) f (x) t f (x)(t R)，求(x)的极小值;3(II)若函数h(x)sin x的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数x的值及相应的切点坐标(II)解析h(x) 3 xsinx，那么h(x) 3cosx，设切点分别为ti ,h ti i 1,2.由题意知h t1 h t21，即有 3cost1 3 cost21，展开得到9 23(cost1cost2)(cost1
4、 cost2 1) 0 ，在中，由R可知，29(cost1 cost2)36(cosb cost2 1) 0, 即 卩(costcost2)2 4.又 costicost22，则0,costicost21,代入得0.并且切点坐标为(2 m ,0),(2n ,0),其中(m, n Z).例题4 (2014年南京市、盐城市高三二模第12题)设函数f(x)= ax+ sinx+ cosx.若函数f(x)的图象上存在不同的两点 A, B，使得曲线y= f(x)在点A, B处的切线互相垂直，则实数 a的取值范围为 .解析 f xsin x cosx a,/2sin(x)a . 2,a2 ;那么，要使得函
5、数f(x)的图象上存在两个不同点使得1，必有a .2又由f xi f x21得到,f X11f x21丄，那么得到:1a ,2a 21a V2评注此题解法类似于如下两道例题:，即有a221，解得a1,1.例题4.1已知函数f (x) x3 2x23(1) 求过曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2) 若在曲线C上存在两条互相垂直的切线，略3x(x R)的图象为曲线C .求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围;解析(1) f(x)24x 3 (x 2)1(2)由(1)可知:1，解得k 1或11 k 0;代入解得x例题4.2设函数f(x)3ax 2bx cx 4d(a,b,c,d R
6、)的图象关于原点对称，且x 1时，f (x)取极小值1 ,3(1)(2)求a,b,c,d的值；当x 1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论 略解析(2)不存在这样的两点由(1)得 f (x)x2f X1 f x21，即人21x2211 .1，假设图象上存在两点A%, yj B(n2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则22X2210,故不成立因为 X1,X2 1,1，那么 X1 1 0,X22 1 0，得到 皆 1例题5 (2010年雅安三模)二次函数y = x2 2x+ 2与y= x2 + ax+ b(a0,b0)的图象在它们的一个交点14处互相垂直，则一
7、4的最小值是(a b(A)185(B)?(C)4(D)245解析设两个函数交与(xo,y)，则有 kik2(2xo2)( 2xoa)21，即 4X0 2(2 a)x0 2a 1 0.又 y0= X02 2x0 + 2 与 y0= X02 + ax0 + b,得到 2 X022(2+a) X0+2 b=0;亦即 4怡2(2 a)x0 2(2 b) 0 ；例题解析2b,即a ba,b(丄4)2(1ab5f(x)2 X2x)(A)12因此，可得2a 1 46已知函数X2 Xi的最小值为(52 .04 2 a b b 54 b绚18，当且仅当b竺时，等号成立. a b 5a b的图象在 Ag, f(X|), B(X2, f(X2)(捲(B) 1(C)3X20 )处的切线互相垂直，则(D) 2f (x1) f x2(2为2)(2x22)1，由 X1X20可知2xi 202X22 .那么X2 X1(2X22)(2Xi 2)2(2X22)(2为 2)其中，当且仅当2X2 2(2x1 2)，即223X1一，X2211时，等号成立2
