湖北、胡斌、另类“整体法”

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1、另类“整体法”湖北、十堰市一中胡斌邮编442000例题：如图所示，质量为M=10kg的斜面体ABC静置于粗糙的水平地面上，斜面倾角。=300，斜面体与地面间的动摩擦因数R = 0.02。在斜面上有一质量m=1kg的物块由静止开始沿斜面下滑，当滑过的路程S=1.4m时，速度u = 1.4m/s。此过程中斜 面体未动。求：地面对斜面体的支持力和摩擦力的大小和方向。（g取10m/s2）分析：在高中物理中，牛顿第二定律的应用，大都是对单个物体而言。而对于多个相互 作用的物体，特别是多个加速度不同的物体组成的系统，通常采用的是隔离法，使之转化为 单个质点问题。此题中，m、M的加速度不同，故应用隔离法分析

2、。解题 思路如下：（1）由运动学公式求得m沿斜面下滑的的加速度；（2）对M物块进行受力分析，根据牛顿第二定律列方程求得斜面对物块/， I 的支持力、摩擦力；（3）对斜面体进行受力分析（如右图）根j N据平衡条件列方程求得地面对斜面体的支持力、摩擦力。思考：上述过程中涉及物体间相互作用力的分析，并且所列方程的数目较多，求解过程 较复杂。能否避开分析内力，应用整体法求解呢？答案是肯定的。讨论如下：一、系统牛顿第二定律的推导：设系统内有两个质量分别为m1、m2的物体，它们受到的外力分别为F1、F2，m1对m2及m对m的作用力分别为F 一、F2112两物体的加速度分别为a1、a2，由牛顿第二定律得:F

3、 + F = m a （1）（2）根据牛顿第三定律有：%=-F1（3）；由以上三式可得：F + F = m a + m a（4）121 12 2同理可证，上述结论对多个物体组成的系统同样成立，即:F = F + F + F = m a + m a + m a （ F、合 12n 112 2n n 1F2、F为外力）（5）正交分解，则有:=F + F + F = m a + m a + m a1 x2 xnx 1 1x2 2 xn nx（6）=F + F HF F = m a + m a HF m a1 y 2 yny 1 1 y 2 2 yn ny（7）（5）、（6）、（7）式即为系统的牛顿第

4、二定律的表达式。二、解析：由U2Uj = 2ax得：物块沿斜面下滑的加速度a = =冷=-7 m / S 22 x2 x 1.4甘七卜、取物块和斜面体组成的系统为研究对象，受力分析如右图：将物块沿斜面向下的加速度a分解为水平分量ax和竖直分量a,，由系统的牛顿第二定律有：I（rti+M ）g水平方向：f - M x + ma = ma cos0 ；竖直方向：（m + M）g F = M x + ma = ma sin0代入数据解得：f = .61N，方向水平向左；Fn = 19.65N，方向竖直向上。三、题后反思：本题中两个物体的加速度不同，M受力情况较复杂，但应用整体法避 开了对系统内力的分

5、析，使解题过程变得干净利落。应用整体法解决此类多体系统动力学问题，需把握三个关键点：（1）正确分析系统受到 的外力；（2）正确分析系统内各物体加速度的大小和方向；（3）建立直角坐标系，根据系统 的牛顿第二定律列方程求解。附同类练习题：1、如图所示，三个质量相同的小球A、B、C固定在轻质硬杆上，且OA=AB=BC。现 将该装置放在光滑水平桌面上，使杆绕过O点的竖直轴匀速转动。设OA、AB、BC上的拉力分别为I、F2、F3，则（）A. F1 : F2 : F3 = 3:2:1B. F1 : F2 : F3 = 6:3:2C. F1 : F2 : F3 = 6:5:3D. F1 : F2 : F3 = 1:1:1对M的摩擦力的方向，下列说法中正确的是（）A.小球在A点时，N Mg，摩擦力方向向左2、如图所示，质量为M的方块内有圆轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆 轨道做无摩擦的圆周运动，A与C两点分别是圆周的最高点和最低点，B与D两点与圆心 O在同一水平面上，小球运动时，方块M静止在地面上。则关于M对地面的压力N和地面B. 小球在B点时，N = Mg，摩擦力方向向右C. 小球在C点时，N = （M + m）g，M与地面无摩擦。D. 小球在D点时，N = （M + m）g，摩擦力方向向右。参考答案：1、C； 2、B。