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1、高等数学专题练习单项选择题(15分，每小题3分)1、当xt比时，下列函数为无穷小量的是()(A)x -C0sx旧 Sinx(C)(1 + 1)xxx2x -1x2 .函数f (x)在点x0处连续是函数在该点可导的()(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件3 .设f(x)在(a,b)内单增,则f(x)在(a,b)内(A)无驻点(C)无极值点4 .设f(x)在a, b内连续，且 r (a, b)使()成立。(A) f g =0(B) f(O0=0(D)5,广义积分d(a 0)当 a xh(B)无拐点(D) f (x) 0f (a) f (b) 0 ,则至少存在一点=0
2、f (b)- f (a)= f79b-a)()时收敛。(A) p 1(B)p 1(C) p-1(D) p0x to(e -1)dt2x四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1,、1、y =,求 y4 - x2、x = ln(1+t2) 求 d2y 2的连续性，若有间断点,jix三一2（7分）七、证明不等式：当x0时,ln（1 x） x -x2（7分）2x八、求由曲线xy=2,y = 1,y = 2x (x，)所围图形的面积。4九、设f（x）在0,1上连续，在（0,1）内可导且1） = f （0）= 0.证明：至少存在一点Uw（0,1）使四川理工学院试题（A）参考答案及评分标准（2005至2
3、006学年第一学期） 课程名称：高等数学一、单项选择题（15分，每小题3分）1.B 2,A 3.C 4.A 5.A二、填空题（15分，每小题3分）y .1. a=2 2. dy = ）dx 3. （0, 2） 单减，（，十 00 ）单增。 2x4. 1=1 5. a=22三、计算下列极限。（12分，每小题6分丘E-1+X工1什）八1 .解。原式=lim = lim 1+ I =e （6 分）(6分) ex 1x 11.斛。原式=lim= lim =一x)0 2x x 0 2x 2四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1解。2.解。3=4-xdy 1-1：1 2dx2t1 t24 -x2 -
4、2 -2xd2ydx2dt 2 dx211 t2dx 4tdt五、计算下列积分（18分,每小题6分）1解。12dx原式二1 xx1 x2dxarctan x2 dx=arctan x12In 1 x21 arctan2 x c22.解。原式=o2 cosx 1 -2cos xdx 二 一2 0设 8sx d 8sx4 cosx33.解显然有:f 1 =0,2 sin x2x2sinx21x22sin x2dx = 121 sinx2dx o1二一 cosx2JI六、讨论函数 f (x) = cosxx2 的连续性，若有间断点，指出其类型。2 x,JTx三一2(7分)解：flim 2x=1f 0
5、 = lim所以当又：fji二1 2x g 0 cosx二1jix =一时，函数连续。2当 x = k二 一 k 二22是函数的间断点。cosx = 0 ,所以 x = knJIk _ 2 k z2且 lim _ f x =x_k ; -limx火二/cosxoo ,所以 x = kn + 2k 2 kwz是函数的无穷间断点。七、证明不等式：当 x 0时，ln(1 + x) a x x2(7分)证明：设 f x = ln 1 , x )-x ,1f x = -1 x =f 0 =0当x0时f (x ) 0,所以f仅惮增。当 x0 时 f(x) f(0)=0,即:l n ( x) x -x2证毕
6、。2一 x 一 .八、求由曲线xy = 2, y=，y=2x (x之1)所围图形的面积。解：如图所示：(略)所求面积2 f 2、8A= 2 2xdx+ b 2xI x) Ix2dx42 f3 8(x2 -21n x 卜 + x2 -112 人=21 -21n2九、设f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且f(1)= f(0)”证明：至少存在一点(亡(0,1)使 f( )= f ()(7分)证明：设 F(x)=f(xe：显然F(x )在在0,1上连续，在(0,1)内可导(3分)并且F(0)=F(1) = 0，由罗尔定理：至少存在一点0 0 (0,1濮F)=0而 FVx)=e.f x)f(x, e/#0(6 分)F仁)=0即：f6)=f/)证毕。X-（ x ）X-Vx）1cos1 T2
