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1、 小升初奥数专题讲座（共二十四讲）第一讲 行程问题- 1 -1.1 追及与相遇- 1 -1.2 环形路上的行程问题- 7 -1.3 稍复杂的问题- 12 -1.4 流水行程- 17 -第二讲 和、差与倍数的应用题- 19 -2.1 和差问题- 19 -2.2 倍数问题- 22 -2.3 盈不足问题- 26 -第三讲 数论的方法技巧之一- 30 -3.1 利用整数的各种表示法- 31 -3.2 枚举法- 33 -3.3 归纳法- 35 -第四讲 数论的方法技巧之二- 38 -4.1 反证法- 38 -4.2 构造法- 39 -4.3 配对法- 40 -4.4 估计法- 42 -第五讲整数问题之一
2、- 44 -5.1 整除- 44 -5.2 分解质因数- 49 -5.3 余数- 54 -第六讲图形面积- 61 -6.1 三角形的面积- 61 -6.2 有关正方形的问题- 65 -6.3 其他的面积- 69 -6.4 几种常见模型- 72 -第七讲工程问题- 75 -7.1 两个人的问题- 76 -7.2 多人的工程问题- 80 -7.3 水管问题- 84 -第八讲比和比例关系- 90 -8.1 比和比的分配- 90 -8.2 比的变化- 96 -8.3 比例的其他问题- 100 -第九讲经济问题- 107 -第十讲溶液问题- 112 -第十一讲简单几何体的表面积与体积的计算- 117 -
3、11.1 四种常见几何体的平面展开图- 117 -11.2 四种常见几何体表面积与体积公式- 118 -11.3 例题选讲- 119 -第十二讲循环小数化分数- 126 -12.1 纯循环小数化分数- 126 -12.2 混循环小数化分数- 127 -12.3 循环小数的四则运算- 128 -第十三讲估计与估算- 130 -第十四讲列方程解应用题- 137 -14.1 列简易方程解应用题- 137 -14.2 引入参数列方程解应用题- 141 -14.3 列不定方程解应用题- 143 -第十五讲巧算技巧- 146 -第十六讲鸡兔同笼与假设法- 148 -第十七讲牛吃草问题- 152 -第十八讲
4、年龄问题- 161 -第十九讲剩余、余数定理- 166 -第二十讲周期问题- 171 -第二十讲还原问题- 189 -第二十一讲盈亏问题- 194 -第二十二讲抽屉问题- 212 -22.1 抽屉原理1- 212 -22.2 抽屉原理2- 215 -第二十三讲 分数拆分- 218 -23.1 拆成两个分数单位- 218 -23.2 拆成几个分数的和- 220 -23.3 拆成两个分数差- 221 -23.4 应用- 224 -第二十四讲 找次品、打电话- 229 -24.1找次品- 229 -24.2 打电话- 229 -第一讲 行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走
5、了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量人数.工作量=工作效率时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容
6、.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1 追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离= 甲的速度时间-乙的速度时间=（甲的速度-乙的速度）时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从
7、学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=961.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-648（千米/小时）.城门离学校的距离是481.572（千米）.答：学校到城门的距离是72千米.例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公
8、园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50 10（75- 50） 20（分钟）因此，小张走的距离是75 20 1500（米）.答：从家到公园的距离是1500米.还有一种不少人采用的方法.家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多
9、少？解一：自行车1小时走了301-已超前距离，自行车40分钟走了自行车多走20分钟，走了因此，自行车的速度是 答：自行车速度是20千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离速度差1小时与40分钟是32.所以两者的速度差之比是23.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是15.自行车速度是35- 15 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几
10、分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216（千米）.少骑行24-168（千米）.摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.881632.答：这时是8点32分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么甲走的距离+乙走的距
11、离=甲的速度时间+乙的速度时间=（甲的速度+乙的速度）时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36123（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36（31）9（分钟）.答：两人在9分钟后相遇.例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发
12、，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5 4）218（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就
13、是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.解：先画一张行程示意图如下设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关
14、键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12 16 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点（或E点）相遇所用时间是285 5.6（小时）.比C点相遇少用 6-5.60.4（小时）.甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是120.430（千米/小时）.同样道理，乙的速度是160.440（千米/小时）.A到 B距离是（30 40）6 420（千米）.答： A，B两地距离是 420千米.很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2
