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1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.高考中很少考查直线的方向向量，而平面法向量那么多渗透在解答题中考查2.利用向量法证明有关线、面位置关系，在高考有所表达，如2022年陕西T18，可用向量法证明3.高考对空间向量及应用的考查，多以解答题形式考查，并且作为解答题的第二种方法考查，如2022年北京T16，天津T17等.
2、归纳知识整合1两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，那么这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量探究1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm
3、平面、的法向量分别为n，m.nmnmnmnm03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，那么cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)4直线和平面所成的角的求法如下图，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，那么有sin |cos |.5求二面角的大小(1)如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，那么二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，那么二面角的大小n1，n2(或n1，n2)探究2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？
4、二面角呢？提示：两向量的夹角范围是0，；两异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是0，注意以上各角取值范围的区别6点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，那么点B到平面的距离d.自测牛刀小试1(教材习题改编)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1(1，1,2)，v2(0,2,1)，那么l1与l2的位置关系是()A平行B相交C垂直 D不确定解析：选Cv1v210(1)2210，v1v2，从而l1l2.2假设直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2，0，4)，那么()Al BlCl Dl与斜交解析：选Ba(1,0,2
5、)，n(2,0，4)n2a，即an.l.3假设平面、的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，那么()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确解析：选Cn1n22(3)(3)15(4)0，n1与n2不垂直，与相交但不垂直4(教材习题改编)两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，那么两平面所成的二面角的大小为_解析：cosm，n，即m，n45，其补角为135.两平面所成的二面角为45或135.答案：45或1355假设平面的一个法向量为n(2,1,2)，直线l的一个方向向量为a(1,1,1)，那么l与所成的角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角为，那么sin |cos
6、n，a|.答案：用向量法证明平行、垂直例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.自主解析以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，那么C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.(1)设平面C1E1F的法向量n(x，y，z)，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n.又CE平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)
7、，由(0,1,0)，(1,0，1)，即取m(1,0,1)mn1(1)2011110，平面C1E1F平面CEF.保持例题条件不变，求证：CF平面C1EF.证明：由例题可知，E(1,0,1)，F(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，(1,0,1)，(1,0，1)，(0,1,0) 11001(1)0，1001100.，.CFC1F，CFEF.C1FEFF，CF平面C1EF.1.向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.2.向量法证明线面平行的注意点用向量
8、法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法.1(2022安徽师大附中模拟)如图，AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.解：设ADDE2AB2a，建立如下图的坐标系Axyz，那么A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)证明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)证
9、明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，.又CDDED，平面CDE，即AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCD平面CDE.利用空间向量求空间角例2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBFB1.(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值自主解析(1)以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，那么D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是(3，3,0)，EC1(1,3,2)，FD1(4,2,2)设n(x，y,2
10、)为平面C1DE的法向量，那么有xy1，n(1，1,2)，向量(0,0,2)与平面CDE垂直，n与AA1所成的角为二面角CDEC1的平面角或其补角cos ，由图知二面角CDEC1的平面角为锐角，tan .(2)设EC1与FD1所成的角为，那么cos .求平面的法向量的步骤(1)设出法向量的坐标，一般设为n(x，y，z)；(2)建立方程组，即利用平面的法向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，建立关于x，y，z的方程组(3)消元，通过加减消元，用一个未知数表示另两个未知数(4)赋值确定平面的一个法向量2(2022新课标全国卷)如下图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的
11、中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，那么BC平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如下图的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)那么(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设
12、n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，那么即可取n(1,1,0)同理，设m是平面C1BD的法向量，那么可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.利用向量法求空间距离例3在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如下图，求点B到平面CMN的距离自主解答取AC的中点O，连接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如下图，建立空间直角坐标系Oxyz，那么B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，那么取z1，那么x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d.求平面外一点P到平面的距离的步骤(1)求平面的法向量n；(2)在平面内取一点A，确定向量的坐标；(3)代入公式d求解3正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2.求点B到平面EFG的距离解：如下图，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)，(0,
