《2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用练习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用练习(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节 平面向量的数量积及其应用 A级基础巩固1(2020开封一模)已知向量a(m1,1),b(m,2),则“m2”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:当m2时,a(1,1),b(2,2),所以ab(1,1)(2,2)220,所以充分性成立;当ab时,ab(m1,1)(m,2)m(m1)20,解得m2或m1,必要性不成立,所以“m2”是“ab”的充分不必要条件答案:A2设向量a,b满足|ab|4,ab1,则|ab|()A2 B2 C3 D2解析:由|ab|4,ab1,得a2b216214,所以|ab|2a22abb2142112,所以|ab
2、|2.答案:B3(2020唐山质检)若向量a,向量b(1,sin 22.5),则ab()A2 B2 C. D解析:由题意知abtan 67.52.答案:A4(2020石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|ab|ab|2|b|,则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.解析:设|b|1,则|ab|ab|2.由|ab|ab|,得ab0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|,设向量ab与a的夹角为,则cos ,因为0,所以.答案:D5(2020惠州模拟)已知两个非零向量a与b,若ab(3,6),ab(3,2),则a2b2的值为()A3 B24 C21 D12解析:因为ab(3,6),a
3、b(3,2),所以a(3,4),b(0,2),a2|a|225,b2|b|24,则a2b221.答案:C6(2020佛山调研)在RtABC中,ABAC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足k,当取得最小值时,实数k的值为()A. B. C. D.解析:建立平面直角坐标系,如图所示,设ABAC3,P(x,3x)(0x3),则M(1,0),N(2,0),则2x29x112,所以当x时,取到最小值,此时P,所以k.答案:C7在ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,1),C(3,1),若ABC是以B为直角顶点的直角三角形,则t_解析:由已知,得0,即(3t,t1)(3
4、t,0)0,所以(3t)(3t)0,解得t3或t3,当t3时,点B与点C重合,舍去故t3.答案:38(一题多解)(2017全国卷)已知向量a,b的夹角为60,|a|2,|b|1,则|a2b|_解析:法一|a2b|2.法二(数形结合法)由|a|2b|2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图所示,则|a2b|.又AOB60, 所以|a2b|2.答案:29(2017天津卷)在ABC中,A60,AB3,AC2.若2,(R),且4,则的值为_解析:由2得,所以()22,又32cos 603,29,24,所以3254,解得.答案:10(2017江苏卷)已知向量a(cos x,sin x),
5、b(3,),x0,(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解:(1)因为a(cos x,sin x),b(3,),ab,所以cos x3sin x.若cos x0,则sin x0,与sin2xcos2x1矛盾,故cos x0.于是tan x.又x0,所以x.(2)f(x)ab(cos x,sin x)(3,)3cos xsin x2cos .因为x0,所以x,从而1cos,于是,当x,即x0时,f(x)取得最大值3;当x,即x时,f(x)取得最小值2.B级能力提升11(2020“超级全能生”全国联考)在ABC 中,AB4,BC6,ABC,D是AC
6、的中点,E在BC上,且AEBD,则等于()A16 B12 C8 D4解析:以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3)设E(0,t),因为AEBD,所以(2,3)(4,t)83t0,所以t,即E.(0,6)16.答案:A12(2020长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|ab|ab|a|,则向量ab与ab的夹角为_解析:由|ab|ab|,知ab,则ab0,将|ab|a|两边平方,得a2b22aba2,所以b2a2.设ab与ab的夹角为,所以cos .又因为0,所以.答案:13在ABC中,角A,B,C的对边分别为
7、a,b,c,向量m(cos(AB),sin(AB),n(cos B,sin B),且mn.(1)求sin A的值;(2)若a4,b5,求角B的大小及向量在方向上的投影解:(1)由mn,得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B,所以cos A.因为0A,所以sin A .(2)由正弦定理,得,则sin B,因为ab,所以AB,且B是ABC一内角,则B.由余弦定理得(4)252c225c,解得c1或c7(舍去),故向量在方向上的投影为|cos Bccos B 1.C级素养升华14(多选题)已知向量与的夹角为60,且|3,|2,若mn,且,则实数m,n的值可能为()Am1,n6 Bm1,n
8、4Cm,n3 Dm,n2解析:32cos 603,因为mn,所以(mn)(mn)()(mn)m2n20,所以3(mn)9m4n0,所以,故选AC.答案:AC素养培育数学运算平面向量与三角形的“四心”(自主阅读)1. 平面向量与三角形的“重心”问题典例1已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足(1)(1)(12),R,则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点解析:取AB的中点D,则2,因为(1)(1)(12),所以2(1)(12),而1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过ABC的重心答案:C2平面向量与三角形的“垂心”问题典例2已知O是
9、平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足, (0,),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心 C外心 D内心解析:因为,所以.所以(|)0.所以,则点P在边BC的高线上故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案:B3平面向量与三角形的“内心”问题典例3在ABC中,AB5,AC6,cos A,O是ABC的内心,若xy,其中x,y0,1,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A. B. C4 D6解析:根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为BOC的面积的2倍在ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2b2c22bccos A,得a7.设ABC的内切圆的半径为r,则bcsin A(abc)r,解得r,所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.答案:B4平面向量与三角形的“外心”问题典例4已知在ABC中,AB1,BC,AC2,点O为ABC的外心,若xy,则有序实数对(x,y)为()A. B.C. D.解析:取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则,(xy)y,(xy)x,由,得2y0,由,得2x0.又因为2()2222,所以,代入、得解得x,y.故实数对(x,y)为.答案:A