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1、WORD第三部分 行程问题第一讲 行程基础专题知识点概述行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追与问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离速度时间，时间距离速度，速度距离时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以与这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.我们
2、已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉与时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度时间=路程 可简记为：s = vt（2）路程速度=时间 可简记为：t = sv（3）路程时间=速度 可简记为：v = st显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。重点难点解析1. 行程三要素之间的关系2平均速度的概念3注意观察运动过程中的不变量竞赛考点挖掘1.注意观察运动过程中的不变量习题精讲例1（难度等级 ）邮递员早晨7时出发送一份到对面山里，从邮局开始要走12千
3、米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?分析与解 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间：124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）4+（12+8）5+1=10(小时)，邮递员是下午7
4、+10-12=5(时) 回到邮局的。例2（难度等级 ）甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.分析与解 马车从甲地到乙地需要10010=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时到达乙地，其每小时最少要行驶1004=25(千米)例3（难度等级 ）小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时
5、到校。问：小明家到学校多远？（第六届小数报数学竞赛初赛题第1题）分析与解原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了2425=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走6006=100米。总路程就是=10030=3000米。例4（难度等级 ）雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么雪几点就可到校？分析与解原来雪到校所用的时间为20分钟，速度为：48020=24（米/分），现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40
6、（米/分），那么现在上学所用的时间为：48040=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校例5（难度等级 ）王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?分析与解假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300602=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间30050=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以3004=75（千米/时）的速度往回开
7、例6（难度等级 ）老师骑电动车从学校到丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？分析与解这道题没有出发时间，没有学校到丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到丁家时，A距丁家还有102=20（千米），这20千米是B从学校到丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到丁家所用的时间是20（15-10）
8、=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离丁家的距离是154=60（千米）.老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，老师骑车的速度应为60（12-7）=12（千米/时）例7（难度等级 ）小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？分析与解上山用了3时50分，即603+50=230（分），由230（30+10）=530，得到上山休息了5次，走了230-105=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了1802=90（分）.由9030=3知，下山途中休息了2次
9、，所以下山共用90+52=100（分）=1时40分.例8（难度等级 ）老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米时；从B到C为上山路，车速是22.5千米时；从C到D为下山路，车速是36千米时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？分析与解设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）（x22.5+2x36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72302.4（时）例9（难度等级 ）汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时
10、的速度返回甲地。求该车的平均速度。分析与解想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程总时间 ，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：172+148，平均速度=2（172+148）=57.6千米/时。 我们发现中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为72，48=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=1442（14472+14448）=57.6千米/时。例10（难度等
11、级 ）如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小从A到D的平均速度是多少?分析与解从A到B的时间为：126=2（小时），从B到C的时间为：84=2（小时），从C到D的时间为：42=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D 的平均速度为：246=4（千米/时）例11（难度等级 ）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路与下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分
12、别为米/秒、米/秒和米/秒，求他过桥的平均速度。分析与解 假设上坡、走平路与下坡的路程均为24米，那么总时间为：244+246+248=13（秒），过桥的平均速度为 （米/秒）例12（难度等级 ）汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米时，要想来回的平均速度为48千米时，回来时的速度应为多少？分析与解假设AB两地之间的距离为4802=240千米，那么总时间=48048=10（小时），回来时的速度=240（10-24040）=60（千米/时）例13（难度等级 ）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路与下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11
13、米秒、22米秒和33米秒，求他过桥的平均速度.分析与解假设上坡、平路与下坡的路程均为66米，那么总时间=6611+6622+6633=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66311=18（米/秒）例14（难度等级 ）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析与解假设每条边长为200厘米，则总时间=20050+20020+20040=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200319=（厘米/分钟）.例15（难度等级 ）甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时
14、间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？分析与解全程的平均速度是每分钟（80+70）2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是300080=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟第二讲 相遇与追与专题知识点概述在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追与问题这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉与到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追与问题.一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间=（甲的速度+乙的速度）相遇时间=速度和相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即二、追与有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追与问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追与路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在一样的时间（追与时间）：追与路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度追与时间-乙的速度追与时间
