小升初培优之“牛吃草”问题

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1、第 39 周“牛吃草”问题一、知识要点牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天，供 6 头牛吃几天？”这题很简单，用 3106=5（天），如果把“一堆草” 换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草 的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问 题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不 变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。 正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。二、精讲精练【例题 1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青

2、草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量即原来 的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草 虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不 变的。假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份，那么 27 头牛 6 周需要吃 276=162 （份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛 9 周需吃 239=207（份），此时 新草与原有的草也均被吃完。而162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数 量的总和；207 份是原有的草的数量与

3、9 周新长出的草的数量的总和，因此每周 新长出的草的份数为：（207-162）（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为： 162-156=72（份）。这片草地每周新长草15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长 出来的草，于是这片草地可供 21 头牛吃 72（21-15）12（周）练习 11、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24 头牛吃 6 天，20 头牛吃 10 天，那么可供 19 头牛吃几天？2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可10供头牛吃20 天，或者可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？3、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供 27 头牛

4、吃 6 周或 23 头 牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？【答案】1.每天长草量：（2010-246）（10-6）=14（份）原有草量：246-146=60（份）可吃天数：60（19-14）=12（天）2.每天长草量：（2010-1510）（20-10）=5（份）原有草量：（10-5）20=100（份）可吃天数：100（25-5）=5（天）3.每天长草量：（239-276）（9-6）=15（份）原有草量：（27-15）6=72（份）可吃时间：72（21-15）=12（周）【例题 2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度 在减少。已知某块草地上的草可供20 头

5、牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计 算，可供多少头牛吃 10 天？与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是， 我们同样可以利用与例 1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份，20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃 90 份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1 天减少青草 10 份，也就是 寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当10于头牛同时在吃草， 所以原有草两有（20+10）5=150（份）

6、，由15010=15 知道，牧场原有的 草可供 15 头牛吃 10 天。由寒冷导致的原因占去10 头牛吃的草，所以可供5 头牛吃 10 天。练习 2：1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算， 牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几 天？2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草 可供 33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10 天？3、经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增

7、长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展 的需要，地球最多能养活多少亿人？【答案】1.每天减少量：（205-166）（6-5）=4（份）原有草量：（20+4）5=120（份）可吃天数：120（11+4）=8（天）2.每天减少量：（335-246）（6-5）=21（份）原有草量：（33+21）5=270（份）牛的数量：27010-21=6（头）3.（80300-100100）（300-100）=70（亿）【例题 3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯 上楼。已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。

8、问：该扶梯共有多少级台阶？与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”， 草”变成了“台 阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自 动扶梯的速度。男孩5 分钟走了 205=100（级），女孩6分钟走了156=90（级）， 女孩比男孩少走了 10090=10（级），多用了65=1（分钟），说明电梯1分钟 走 10 级。因男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之 和。所以，扶梯共有（20+10）5=150（级）练习 3：1、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分 钟走

9、 25 级台阶，小红每分钟走20 级台阶，结果小明用5 分钟，小红用了6 分钟 分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27 级台阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到 达另一端，该扶梯共有多少级台阶？3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20 分米，另一只爬15 分米。黑 夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜 到达井底，另一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？【答案】

10、1.扶梯每分钟上行（255-206：）（6-5）=5（级）扶梯共有台阶数（25+5：）5=150（级）2.扶梯每分钟上行：24（18020）-27（12020）（3-2）=54（级） 扶梯共有台阶数：27（12020）-542=54（级）3.每夜下滑：（205-156）（6-5）=10（分米）井深：（20+10）5=150（分米）=15（米）【例题 4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经 进了一些水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时 才能舀完。现在要想 2 小时舀完，需要多少人？已漏进的水，加上 3 小时漏进的水，每小时需要（12

11、3）人舀完，也就是 36 人用 1 小时才能舀完。已漏进的水，加上 10 小时漏进的水，每小时需要（5 10）人舀完，也就是 50 人用 1 小时才能舀完。通过比较，我们可以得出 1 小 时内漏进的水及船中已漏进的水。1 小时漏进的水，2 个人用 1 小时能舀完：（510123）（103）=2已漏进的水：（122）3=30已漏进的水加上 2 小时漏进的水，需 34 人 1 小时完成：30+22=34用 2 小时来舀完这些水需要 17 人：342=17（人）练习 4：1、有一水池，池底有泉水不断涌出。10用部抽水机20 小时可以把水抽干， 用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干。那么用

12、 25 部这样的抽水机多少小 时可以把水抽干？2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同 时打开后，如果每小时注水 30 立方分米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注 水 45 立方分米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽 水机来抽水，36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机，20 分钟抽完。现在 12 分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？【答案】1.每小时涌出水：（1020-1510）（20-10）=5（份） 原有泉水：（10-5）20=

13、100（份）抽干需要：100（25-5）=5（时）2.307-45（7-2.5）2.5=3（立方分米）3.每小时涌出水（336-520）（36-20）=12（份）原有泉水：（3-12）36=90（份）抽干需要抽水机（90+：1212）12=8（台）【例题 5】有三块草地，面积分别为 5，6，和 8 公顷。草地上的草一样厚， 而且长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛 吃 14 天。问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同 的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即5，6，8

14、=120这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天，1205=24，变为 120 公顷草地 可供 1124=264（头）牛吃 10 天第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14 天，1206=20，变为 120 公顷草地可供 12 20=240（头）牛吃 14 天。1208=15。问题变成：120 公顷草地可供 1915=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天，那么可供 285 头牛齿及天？即每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）草地原有草：（264180）10=840（份）可供 285 头牛吃的时间：840（285180）=8（天）答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。练习 5：1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从 开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检 票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？2、快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的 速度分别是嵋小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中 车追上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用多少小时？3、一个牧场上的青草每天都匀