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1、. .二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：1先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴2求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或
2、无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较准确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：1一般式：2顶点式：3当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，那么不能这样表示。三、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质1抛物线开口向上，并向上无限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记
3、左减右增；4抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，1抛物线开口向下，并向下无限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；4抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法如图：点A坐标为x1，y1点B坐标为x2，y2 那么AB间的距离，即线段AB的长度为y A x B 02、函数平移规律中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，
4、对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间左加右减、上加下减四、二次函数的最值 如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值或最小值，即当时，。如果自变量的取值围是，那么，首先要看是否在自变量取值围，假设在此围，那么当x=时，；假设不在此围，那么需要考虑函数在围的增减性，如果在此围，y随x的增大而增大，那么当时，当时，；如果在此围，y随x的增大而减小，那么当时，当时，。典型例题1.函数，那么使y=k成立的x值恰好有三个，那么k的值为 A0B1C2D3【答案】D2. 如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，那么以下关系中正确的选项是 Aab=1
5、 B ab=1 C b2a D ac0 【答案】B3.二次函数的图象如下列图，那么反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是 .【答案】D4.如图，二次函数的图象经过点1，0，1，2，当随的增大而增大时，的取值围是 1,-2-1【答案】5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式 A BC D【答案】B6.二次函数的图像如图，其对称轴，给出以下结果，那么正确的结论是 A B C D 【答案】 D7抛物线上局部点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，以下说法中正确的选项是填写序号抛物线与轴的一个交点为3,0； 函数的最大值为6
6、；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大【答案】8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是2，4，过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA(1)求OAB的面积；(2)假设抛物线经过点A求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的部不包括OAB的边界，求m的取值围直接写出答案即可解：(1) 点A的坐标是2，4，ABy轴，AB=2，OB4，(2)把点A的坐标2，4代入，得，c4，抛物线顶点D的坐标是(1，5)，AB的中点E的坐标是1，4，OA的中点F的坐标是1，2，m的取值围为lm39二次函数y=x2+x的图像如图1求它的对称轴与x轴交点D的坐标；2
7、将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，假设ACB=90，求此时抛物线的解析式； 3设2中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由解：1二次函数y=-x2+x的对称轴为x=3，D3，02设抛物线向上平移h个单位h0，那么平移后的抛物线解析式为y=-x2+x+h ACB=90，OC2=OAOB 设点A、B的横坐标分别为x1、x2，那么h2=- x1x2 x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的两个根，x1x2=-4h，h2=4h，h=4，抛物线的解析式为y=-x2+x+43CM与D相切，理由
8、如下：连结CD、CM，过点C作DM于点D，如以下列图所示：AB是D的直径，ACB=90，点C在D上根据平移后的抛物线的解析式y=-x2+x+4可得：OD=3，OC=4，DM=，CD=5=3，MN=，CM=CM=，CD=5，DM=，CDM是直角三角形且DCM=90，CM与D相切10.如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是O的切线，ADCD于点D，tanCAD，抛物线过A，B，C三点.1求证：CADCAB；2求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；3在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA
9、是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标不写求解过程；假设不存在，请说明理由.1证明：连接OC.CD是O的切线，OCCDADCD，OCAD，OCACADOCOA，OCACAB， CADCAB2AB是O的直径，ACB90OCAB，CABOCB，CAOBCO，即tanCAOtanCAD，OA2OC又AB10， OC0OC4，OA8，OB2A8，0，B2，0，C0，4抛物线过A，B，C三点.c4由题意得，解之得，设直线DC交x轴于点F，易证AOCADC，ADAO8.OCAD，FOCFAD，8(BF5)5(BF10)，设直线DC的解析式为，那么，即由得顶点E的坐标为将代入直线DC的解析式中，右边左边.
10、抛物线的顶点E在直线CD上11.如下列图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A-1，0，B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，假设抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N1求抛物线的解析式2抛物线上是否存在点P使得PA= PC假设存在，求出点P的坐标；假设不存在请说明理由。3设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy图1解：由题意可得M0，2，N-3，2 ，解得：y=2PA
11、= PC ，P在AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过B-1，2，1，0，这条直线为y=x+1解得：， P1， P23D为E关于对称轴x=15对称，CD所在的直线y=x+3 yQ=45，Q-15，45最大值为CD=个单位/秒 3,当时，有最大值为， 此时 12如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A一1，0求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值1点A-1，0在抛物线y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,顶点D的坐标为 (, -). 2当x =
