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1、第二章 直线与平面的位置关系陈毅东2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：（ 1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为ALABL = L ALB公理 1 作用： 判断直线是否在平面内 .（ 2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB符号表示为： A、 B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， C 使 A、 B、 C。公理 2 作用： 确定一个平面的依据。（ 3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P = =L，且 PL公理 3 作
2、用： 判定两个平面是否相交的依据 .2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系PL1 空间的两条直线有如下三种关系：相交 直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行 直线：同一平面内，没有公共点；异面 直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、 b、c 是三条直线a b=acc b强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用： 判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、
3、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0，)； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a b；2 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（ 1）直线在平面内 有无数个公共点（ 2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（ 3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示aa =Aa2.2
4、. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为： 线线平行，则线面平行。符号表示：a b= aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab = Pab2、判断两平面平行的方法有三种：（ 1）用定义；（ 2）判定定理；（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面
5、与此平面的交线与该直线平行。简记为： 线面平行则线线平行。符号表示：a aab = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： = aab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义 ：如果直线L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面互相垂直，记作L，直线L 叫做平面的垂线，平面叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。PaL2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一
6、个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l-或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
7、平面垂直。练习题6、下列命题中： （ 1）、平行于同一直线的两个平面平行； （ 2）、平行于同一平面的两个平面平行；（ 3）、垂直于同一直线的两直线平行； （4）、垂直于同一平面的两直线平行 .其中正确的个数有A 、1B 、 2C、3D、 418、已知 E、F 、G、H 为空间四边形ABCD 的边 AB、BC、 CD、DA 上的点，且 求证： EH BD.(12 分)AEHBDFGC19、已知ABC 中ACB90o ， SA面 ABC ， ADSC，求证： AD面SSBC(12 分 )DABC21、已知正方体 ABCDD 1C 1A1B1C1D1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点 .B1A
8、1求证：（） C1O 面 AB1D1；DAC面AB D (14 分)C（2） 11 1OAB2 如图 2，P 是 ABC 所在平面外的一点， 且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC求证： BC平面 PAC4 如图，在三棱锥 BCD中， BCAC， ADBD，作 BE CD， 为垂足，作AH BE于 求证： AH平面 BCD5 如图，AB是圆的直径，是圆周上一点，PA平面若，为垂足，是上任ABCAE PCPB意一点，求证：平面AEF平面 PBC证明： AB是圆 的直径，ACBC ，18 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中， AB2，BB1 BC1， E 为 D1C1的中点，连结ED ，EC，EB 和 DB( 1) 求证：平面EDB 平面 EBC；( 2) 求二面角E DB C 的正切值 .10 如图 , 在空间四边形SABC 中 , SA 平面 ABC,ABC = 90 , AN SB 于 N, AMSC 于 M。求证 : AN BC; SC 平面 ANM
