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1、1.4 无穷级数1.4.1 数项级数1级数的存在意义和概念级数是一个多项和。无穷级数是一个无穷多项的和。级数理论 是分析学的一个分支，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系函数。l 级数理论的基本问题：级数的收敛问题l 级数的作用：研究函数l 级数的应用：近似计算2常数项级数的概念和性质l 概念：un是一个数列，n=1un 是无穷级数Sn=i=1nui称为级数un 的部分和 若limnSn=S存在，称级数n=1un 收敛，当级数收敛时，对于余项rn=i=n+1ui 有 l
2、imnrn=0若limnSn=S不存在，称级数n=1un 发散l 性质和的级数 = 级数的和每一项的常数倍之和 = 级数的常数倍3典型级数n=1aqn-1当q1时 收敛，当00时，称为 正项级数。什么是审敛法？就是通过级数的各种极限形式来判别级数的收敛与发散的方法。l 收敛准则：正项级数收敛的充要条件是其部分和有界。部分和有界 是部分和数列 有界的必要条件。l 比较审敛法：n=1un 、 n=1vn对于N0，当时，0unCvn(C为常数)，若后者收敛则前者收敛，若前者发散则后者发散。比较审敛法的极限形式是limnunvn=l当0l时，两级数同时收敛或同时发散。l 比值审敛法（后项比前项）若li
3、mnun+1un=l当l1或l=+时 发散，当l=1时 级数可能收敛也可能发散。l 根植审敛法limnnun=l当l1或l=+时 发散，当l=1时 级数可能收敛也可能发散。5. 任意项级数审敛法（3条）如果级数 un 为任意实数，则其各项之和称为 任意项级数。即每一项的正负值不确定若级数的正负项交替出现，即级数可以表示成n=1(-1)nun (un0) 的形式，则称为交错级数。l 如果级数n=1un 为任意项级数，且级数n=1un 收敛，则称原任意项级数 绝对收敛；若前者收敛，而后者发散，则称 原级数条件收敛。l 莱布尼兹判别法若交错级数n=1(-1)nun (un0) 满足：unun+1及l
4、imnun=0，则原级数收敛，且有 余项 rnun+1l 若任意项级数 绝对收敛，则该级数收敛。l 如果级数n=1un 为任意项级数，且级数limnun+1un=l（或limnnun=l）则当l1或l=+时 发散，当l=1时 级数可能收敛也可能发散。该部分可以类比 正项级数的 审敛法第3和4条，意思一样1.4.2 幂级数 泰勒级数在第一节中学的是 数项级数，即级数中的每一项都是常数（不管正的还是负的），但是有些级数的通项并不是常数，而是函数，这样的级数 就是函数级数此概念与 数项级数相对应本节将要学习的幂级数和泰勒级数 都是函数级数的一种。1. 幂级数的概念和性质形如n=0an(x-x0)n称
5、为幂级数，令t=x-x0，则 幂级数的标准形式为n=0antn一个标准形式的幂级数完全由它的系数an来决定。这也是为什么 后面对幂级数的 处理都是针对an 来的，而不是前面的数项级数的un2.阿贝尔定理若上级数在t=t0 处收敛，则对tt0 的所有t，级数绝对收敛若 发散， 发散3.幂级数的收敛半径及其求法 R 对幂级数n=0anxn若limnan+1an=(或limnnan=)则它的收敛半径R与 有一定的对应关系R=1 当0时 0 当+时+ 当=0时4. 函数展开成幂级数的方法l 只考虑 间接法：利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等，将所给函
6、数展开成幂级数，避免在 用直接法 时研究余项的麻烦。l 常用函数的幂级数展开式：ex=n=0+xnn! (-x+)sinx=n=0+(-1)nx2n+1(2n+1)! (-x+)cosx=n=0+(-1)nx2n2n! (-x+)ln(1+x)=n=0+(-1)nxn+1n+1 (-1x1)11-x=1+x+x2+x3+(1+x)=n=0+(-1)(-n+1)n! x n (-1x1)当=-1/2时11+x=1-12x+1*32*4x2-1*3*52*4*6x3+当=-1时11+x=1-x+x2-x3+5.泰勒级数和麦克劳林级数幂级数n=01n!fn(x0)(x-x0)n称为函数f(x)在点x
7、0处的泰勒级数。从定义上可以看出，泰勒级数 是幂级数的一种。特别的，当x0=0 时，级数n=01n!fn(0) xn称为函数f(x)的麦克劳林级数。1.4.3 傅里叶级数1. 定义：f(x)是周期为 2 的周期函数，且 以下两个积分（两系数）都存在：an=1-f(x)cosnxdx（n=0、1、2、）bn=1-f(x)sinnxdx（n=1、2、）则an、bn 称为傅里叶系数，而级数：a02+n=1(ancosnx+bnsinnx)叫做函数的傅里叶级数2. 狄利克雷收敛定理f(x)是周期为 2 的周期函数，若其满足条件： 在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内至多只有有限个
8、极值点；则f(x)的傅里叶级数收敛，且当x是f(x)的连续点时，级数收敛于fx，当x是f(x)的间断点时，级数收敛于12fx+f(x-)3. 正弦级数f(x)是周期为 2 的奇函数，则它的傅里叶系数为an=1-fxcosnxdx=0（n=0、1、2、）bn=20f(x)sinnxdx（n=1、2、）其傅里叶级数为n=1bnsinnx因此称为正弦级数4. 余弦级数f(x)是周期为 2 的偶函数，则它的傅里叶系数为an=20fxcosnxdx（n=0、1、2、）bn=1-f(x)sinnxdx=0（n=1、2、）其傅里叶级数为a02+n=1ancosnx因此称为余弦级数1.4.4 后记 级数究竟是
9、什么东西？它与我们的生活有什么联系呢？我们为什么要学习它？ 我们今天看到书本上几页纸的无穷级数章节内容，是数学家们几个世纪以来的努力结果，其中可能经历了猜测、假设、验证、推广、质疑、推广等许多个阶段，才有了今天的样子。也就是说，我们确实是在巨人的肩膀上看世界。级数理论 是分析学的一个分支，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系函数。 从定义可知：级数是用来研究函数的工具，而数学很大程度上就是在研究函数，而级数的应用是近似计算。 我们可以将生活中几乎所有函数（可导）用级数表
10、示出来，这样方便了我们求那些 本来不好求的函数的值。无穷？那有什么可怕？在现代计算机技术下，运算速率根本就不是个事，而对于收敛的级数来说，我们只需要求出前面一定数量的通项和。泰勒级数有什么用？用 吴文俊的话说就是：把质的困难转变成量的复杂。量多并不可怕，我们有时间，有计算工具，关键是要有方法来求。本来求函数的值很困难，将其展开后是幂级数的线性组合，虽然有很多项，但是每一项都是幂函数，因此每一项都容易求解。这有点像什么呢？有点像极限思维。我要考注册动力工程师，我知道它好所以我要考。怎么考呢？光看这几个字，动力？工程师？啥都不知道。将其展开成许多项，分为基础考试和专业考试，基础分为公共基础和专业基础，公共基础分为工程科学基础、工程技术基础和工程管理基础，工程科学基础分为数学、物理学、化学、理论力学、材料力学、流体力学，数学分为空间解析几何、微分学、积分学、无穷级数、常微分方程、线性代数、概率论与数理统计，无穷级数分为常数项级数、幂级数（泰勒级数）、傅里叶级数。好了。只需要知道 级数是用来研究函数的一个工具，与微积分学一起进行函数的分析和近似计算。大点说，数学就是一门工具学，工具善其事必先利其器，知道工具怎么用，然后在实践中不断地用，就会越用越顺手，英语也是一样。
