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1、代数式的变形竞赛题88Y-W8BBGB-BWYTT-19998Company Document number: WT代数式的变形(整式与分式)在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数 的性质来解题.例1设a、b、c、d都是整数，且m二a2+b2,n二c2+d2,mn也可以表示成两个整 数的平方和，其形式是.解 mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2
2、-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或(ac-bd) 2+(ad+bc)2.例 2 设 X、y、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.徒+ 1)(琢+ 1)(砂+ 1)求口+1十1膚7的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 (x-y)2+(x_z)2+(y-z)2=0x=y=z,.原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.2云-対 + 2
3、J -Ef例3如果a是x2-3x+1=0的根，试求/+1的值.解Ta为x2-3x+1=0的根,a2-3a+l=0,且+ 1 =1说明:这里只对所求式分子进行因式分解, 避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4设a+b+c=3m,求证：(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明 令 p=m-a,q=m-b,r=m-c 则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 p3+q3+r33pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=
4、0567S901234678901234556789012356789012347,试比较A、B的大小.T2x y2xy 0,又 y 0,可知+ 2AB.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.X _ H _ 広例 6 若口 一色 A c e 求 x+y+z 的值.解 令 a h b c e a则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, x+y+z=(ab)k+(bc)k+(ca)k=O.例7已知a、b、c为非负实数，且 a2+b2+c2=1,a2ka3+b2kb3+c2kc3=3abc, (a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.
5、 a2+b2+c2=l, k=a3+b3+c33abc =(a+b)33a2b3ab2+c33abc =(a+b+c)(a+b)2+c2(a+b)c3ab(a+b+c), =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca), k=k(a2+b2+c2abbcac), k(a2+b2+c2abbcca1)=0, k(abbcac)=0.若 K=0, 就是 a+b+c=0.若-ab-bc-ac=O,即 (a+b+c)2(a2+b2+c2)=0,(a+b+c)2=1, a+b+c=1综上知 a+b+c=0 或 a+b+c=15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1）分离分式 为了讨论某些用
6、分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示 为一个整式和一个分式的代数和.21皿十斗例8证明对于任意自然数n,分数石行皆不可约.证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通 约.日= 1 +1也+ 匚2亠 1 ,14冷+ 214 + 3 而 7 + 1723+11牡+32阮+斗显然7用+ 1不可通约，故加十1不可通约，从而14旳+ 2也不可通约.（2）表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分 式的代数和.（3）通分 通分是分式中最基本的变形,例 9 的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.bC例9已知况-/ac - b2- c?2
7、证明a_ bcbe - a2-ab2ac b2 ab c2 十 be2 ac2 +b2c(ac b2)(ab c2)6. 其他变形例10 已知x（xHO, 1）和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出X2那么计算的表达式是 解 x2=x（x+1）-x或 x2=x（x-1）+x例 11 设 a、 b、 c、 d 都是正整数， 且 a5=b4,c3=d2,c-a=19,求 d-b.解 由质因数分解的唯一性及 a5=b4, c3=d2, 可设 a=x4,c=y2, 故19=c-a=（y2-x4）=（y-x2）（y+x2）+ 工 J 解得 x=3. y=10
8、. d-b二y3-x5=757强化练习扌巴兀孟F相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是）A） 2 （ B） 3 （ c） 6（ D） 7E) 81 1 1 -1- =.71. 选择题（2）已知圧$4 + #则总的值是（）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）3假定x和y是正数并且成反比，若x增加了 p%,则y减少了（） PgoFI。（A）p%（b）i + f% （c）戸 %（d）i + e%（e）i + e%2. 填空题（1）（x-3） 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f, 则 a+b+c+d+e+f=,b+c+d+e=.2 2 2 宀=一小丿1股=一已知人也書戸兀皿,则人人98
9、6=3若(x-z) 2-4(x-y)(y-z)=0,试求 x+z 与 y 的关系.4把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.H +3 十/5. 若 x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6. 已知x,y,z为互不相等的三个数，求证1 十 1_27. 已知a2+c2=2b2,求证b仕8. 设有多项式 f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2, 求证:如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9. 设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) = (a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).
10、求证：ac二bd.参考答案32. (1)-32,210 (2)云(3)23. 略.b 虫a b 右氓+& c? b-,W十匚-a ba b7 _ -P _ 虫说ba a b 二两个因式为宀4.4. 订6.略，7.略.8.p2-4q-4(m+1)=0, .*.4q=p2-4(m+1)=0, .f(x)=4x44px3+p24(m+1)x 2+2p(m+1)x+(m+1)2 =4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x =2x2-px-(m+1)2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得 cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=O.于是 cp=bq 或 dp=aq,即 c(a+b)=b(c+a)或 d(a+b)=a(c+d).均可得出 ac=bd.
