《二重极限与二次极限与一次极限的比较》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二重极限与二次极限与一次极限的比较（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重极限与二次极限与一次极限的比较limf仅Mx-alimlimffx.y)=limg(x)如果二重极限是9b,二次极限分别为F户匕E,和limlimf(xfy)=limh(y)g(x)=limf(xfy)h(y)=limf(xPy)yTbxTaxTa.其中，,a,b是常数。则二limf(xM重极限2b存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)lirnf(xfy)时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限V存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。limlimf(xTy)=limg(x)二次极限白b*T3存在，
2、表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X逼近(X,b)也就是(x,y)-(x,b),然后再沿直线y=b逼近(a,b)时也就是(x,b)-(a,b),f(x,y)的极限存在。limlimf(x.y)=limg(x)换句话说，若二次极限x-b*T白存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。limlimf(xfy)=Hmh(y)二次极限yTbxTaK以存在，表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y逼近(a,Y)也就是(x,y)-(a,y),然后再沿直线x=a逼近(a,b)时也就是(a,y)-(a,
3、b),f(x,y)的极限存在。limlimf(Kyy);limh(y)换句话说，若二次极限X存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，limf(K,y)x-alimlimf(x,y)1),若二重极限Tb存在且等于A,则二次极限ayTb和lim lim f(x,y)定都存在且都等于A.比如,lim xy = 0今0而且,Hm lim (xy) 显然MT。limlim(xy)和51。也都存在，且都等于00limlimf(xTylimlimf(x,y)2),若二次极限心?或者YTS以中
4、至少有1个不存在，则，若二limf(xN)重极限定不存在。lim lim (j = 0 比如，xOyOlim lim,但yDxTO 不存在。则limX )cTOM-0定不存在。lim lim3),若二次极限短白?小lim lim f(x,y)和bx-都存在但不等于，则，若二重极限lay今b定不存在。再如,9+1) lim lim - x-oy-?o * y州 X + 1) lim lim 777 ,yTOxTOlim I x-0Y-0v(t + ih)=0定不存在。lim lim f(x,y) lim lim4),即使二次极限乂49b都存在且等于，也不能保证，二重定存在。lim lim 比如，
5、*今。J =Q*嘈y Flim lim I vT。x-0lim x-0 但今。不存在。因为，如果lim xT。 y今口存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于00而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，M ”)恒等于1/2,lim不等于0o所以，定不存在。其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。比较一：二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。比较二：二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一
6、定不存在。一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.首先二重极限显然是存在的,(x,y)-(0,0)时，该函数是无穷小与有界函数的乘积，结果为0.但是若先求y的累次极限limy-0xsin(1/xy)极限不存在，先求x的累次极限limx-0xsin(1/xy)是存在的.比较三：二元函数：若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。一元函数：若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。比较四：二元函数：即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证二重极限一定存在。一
7、元函数：若1元函数的左右极限都存在且相等，则极限一定存在且等于左右极限。只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近左极限和从右边逼近右极限。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。但在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式(只要判断左右极限)来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。最后，以上讨论当a,b,A中包含有无穷大时，也有类似的结论。
