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1、函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求解：设 ，则 二、 配凑法：已知复合函数的体现式，求的解析式，的体现式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 三、换元法：已知复合函数的体现式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法同样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求解：令，则， 四、代入法：求已知函数有关某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数的图象有关点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为有关点的
2、对称点 则，解得： ，点在上 把代入得： 整顿得 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设求解 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解 为偶函数，为奇函数， 又 ，用替代得： 即 解 联立的方程组，得 ， 运用鉴别式求值域时应注意的问题用鉴别式法求值域是求函数值域的常用措施，但在教学过程中，诸多学生对用鉴别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用鉴别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、鉴别
3、式法求值域的理论根据例1、 求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用鉴别式法求值域。解：由得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然y1,故式是有关x的一元二次方程用鉴别式法求函数的值域是求值域的一种重要的措施，但在用鉴别式法求值域时常常出错，因此在用鉴别式求值域时应注意如下几种问题：一、要注意鉴别式存在的前提条件，同步对区间端点与否符合规定要进行检查例：求函数的值域。错解：原式变形为 （），解得。故所求函数的值域是错因：把代入方程（）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（）的二次项系数为0，显然不能用“”来鉴定其根的存在状况。正解：原式变形为 （）
4、（1）当时，方程（）无解；（2）当时，解得。综合（1）、（2）知此函数的值域为二、注意函数式变形中自变量的取值范畴的变化例2：求函数的值域。错解：将函数式化为（1）当时，代入上式得，故属于值域；（2）当时， ，综合（1）、（2）可得函数的值域为。错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应当去掉与时方程中相应的值。因此对的答案为，且。三、注意变形后函数值域的变化例3：求函数的值域。错解：由已知得 ，两边平方得 整顿得，由，解得。故函数得值域为。错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了的取值范畴。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不也许为。时，故函数的值域应为。四、注意变量代换中新、旧变量取值范畴的一致性例4：求函数的值域。错解：令，则，由及得值域为。错因：解法中忽视了新变元满足条件。设，。故函数得值域为。综上所述，在用鉴别式法求函数得值域时，由于变形过程中易浮现不可逆得环节，从而变化了函数得定义域或值域。因此，用鉴别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，鉴别式存在的前提，并注意检查区间端点与否符合规定。
