《储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模论文（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过建立数学模型，对题目中提出的关于加油站地下储油罐的变位识别与罐容表标定这两个实际问题进行了比较完整、详细的分析和解答。问题一
3、中，对于倾斜放置的椭圆柱体储油罐来说，其油面所截得的形状难以确定，直接用微积分公式求解其储油量比较困难。为了便于求解，一方面，我们利用罐体倾斜放置与水平放置时罐内储存的燃油液体的体积始终不变这一关系，将计算倾斜放置的储油罐中的储油量，等效转化为计算水平放置的储油罐中的储油量。另一方面，我们通过制定一些合理的假设使模型简化，从而得到倾斜放置油罐中油面高度和水平放置油罐中油面高度之间关系。其关系为：对于等效转化过程和模型简化过程中出现的误差，我们用附件1中给出的实际数据对模型进行检验，从而得到在这两个过程中出现的误差，然后对出现的误差数据进行拟合分析，从而得到修正量的表达式，其修正量表达式为：。用
4、我们所建立的模型中的表达式加上相应的修正量，对模型中的误差进行修正，使求解的结果逼进精确值。针对实际储油罐问题，我们采用积分的方法，建立了反映罐内储油量、油位高度及变位参数关系的实际储油罐油量计算模型（模型二）。考虑到直接给出上述关系表达式十分困难，我们通过编写储油量积分求解程序，实时求解出油面高度为时的储油量值。在确定变位参数时，我们采用最小二乘法，将参数识别问题转换成了最优化问题，并编写了遍历搜索程序，通过调用之前编写的储油量求解程序，可以很方便的对的取值空间进行暴力搜索，最终取得变位参数的理想逼近值。在分析模型的正确性与方法的可靠性时，通过比较相关样点的计算值与实际值，得到模型二的最大相
5、对误差为1.3%，平均相对误差为0.6%，认为实际储油罐油量计算模型具有较好的准确性。为了进一步提高模型的准确性，我们通过误差补偿的方式对模型中表示的表达式进行修正。修正后的模型二，其最大相对误差为0.071%，平均相对误差为0.015%，明显优于修正前的模型，利用修正后的模型求解出的油位高度间隔为10cm的罐容表标定值与附件数据高度吻合。关键字：误差补偿模型修正 最小二乘法一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算
6、，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
7、请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析本题研究和解决的是储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。问题（一）中，题目给定的是一个椭圆柱体储油罐，考虑到倾斜放置
8、的椭圆柱体被油面截得的平面形状难以确定，用积分方法求解储油量（罐容标定值）非常困难。因此，可以将计算倾斜放置的储油罐中的储油量等效为计算水平放置的储油罐中的储油量，实现对高度的等效转变1。同时通过合理的假设使模型简化，从而得到罐容标定值和倾斜放置油位高度之间关系。对于简化处理过程中产生的误差，可以通过附件1中的实际数据对模型进行检验与修正，使求解的结果不断逼进精确值。问题（二）中，对于本问考虑采用积分的方法的建立罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系表示。变位参数的确定属于参数识别问题，最小二乘法是此类问题的理想方法，结合最小二乘法可以将上述参数识别问题转换成最优化问题，从而可以通过具体
9、的优化算法确定出实际储油罐的变位参数。通过比较附件2中相关样点的计算值与实际值，可以检验模型的正确性与方法的可靠性。三、模型假设求解第一问用到的假设：1.根据实际情况，储油罐发生位变程度不应很大；2.不需要考虑液面低于油位探针最下端和液面高于探针最上端的这两种情况；3.罐容表只受到储油罐发生变位的影响；4.油位探针固定在储油罐上，跟随储油罐变位儿发生相应变化；四、符号说明：罐内储油量；：储油罐只发生纵向变位时油位探针测得的油位高度；：储油罐水平放置时油位探针测得的油位高度；：小椭圆型储油罐长；：椭圆长半轴长；：椭圆短半轴长；：油面与左球冠的交界面面积；：油面与圆柱体的交界面面积；：油面与右球冠
10、的交界面面积；：球冠与圆柱体交界面处圆面半径；：球冠所处球体的半径；：油面与左球冠的交界面对应圆面半径；：允许的最大值；：以为自变量的储油量函数；：以为自变量的储油量函数；：当油罐液面低于水平线1时的油面面积；：当油罐液面介于水平线1和水平线2之间时的油面面积；：当油罐液面高于水平线2时的油面面积。五、模型建立与求解5.1小椭圆储油罐油量计算模型（模型一）对倾斜放置的椭圆柱体，由于积分平面不规则，直接积分很难实现。为了便于求解，可以在储油量不变情况下，将具有倾斜角的罐体等效转换为水平放置的罐体1，从而使得求解储油量的模型比较容易建立。对于这样计算产生的误差，可以利用附件1中的数据对求得的模型进
11、行检验和修正，使求解结果更为精确。设图1中椭圆柱体以倾斜角放置时油位探针测得的油位高度为，图2中水平放置时椭圆柱体内部的油位高度为。由于油罐无论怎样放置，在没有进出油的情况下，其内部液体的体积都不会改变。以此建立关系式，可以求得和之间的关系，从而得到储油量与的关系式。图1 有倾斜角放置时的液面情况 图2 水平放置时的液面情况我们先建立和的关系式，然后建立和之间的关系式（如图3），通过表达式的代入，就可以得到与的关系式，即罐体变位后罐容表标定值与油位高度之间的关系式。图3 h1和h2之间的关系图 5.1.1储油量与h2之间关系如图4所示，水平放置时的油罐内液体情况如图4所示：图4 储油罐水平放置
12、情况由知，其中为罐体的长度，为已知量，要求得体积，先用微积分的方法求得其底面积，再乘上即可（求解过程见附录1）。可以得到如下表达式【】： 其中，椭圆长半轴长，短半轴长，椭圆柱体储油罐长。由求解结果可知，体积只与有关。代入已知值，可以求得椭圆柱体中储油量与之间的关系如下： 5.1.2油位高度和之间关系通过分析可以发现，建立和之间关系需要分为三种情况考虑（见图5）：（1）液面在B点之下；（2）水平液面在B点之上、C点之下；（3）液面在C点之上。当油面过高或过低时，油位探针都不能正常检测到油位高度。在油面过低时，出油管也不能正常工作。因此，我们不考虑油面过高和和过低的情况。图5 液面的三种情况为了便
13、于进一步计算，我们先将椭圆柱体简化成一个长方体，对和之间的关系进行分析，求得两者之间的关系。对于简化过程中产生的误差，我们将在后面利用附件1中的数据进行模型检验和修正。（1）倾斜放置，其水平液面在B点之上、C点之下时（相对应的范围为，即）图6 液面在B点之上、C点之下时h1和h2之间的关系图根据图6，可建立如下关系：其中，分别为梯形ABKJ和矩形ABIH的面积。求解可以得到和之间的关系为：（2）倾斜放置，其水平液面在B点之下时图7 液面在B点之下时h1和h2之间的关系图根据图7，可建立如下关系：其中， 分别为三角形AKJ和矩形ABIH的面积。求解可以得到和之间的关系为：，（3）倾斜放置，其水平液面在C点之上时图8 水平液面在C点之上时h1和h2之间的关系图由图8可得如下关系：其中，分别为三角形DJK和矩形CDIH的面积。求解可以得到和之间的关系为：综上所述，和之间的关系如下：代入得到如下结果：5.1.3罐容标定值和油面高度之间关系椭圆柱体中储油量与h2之间的关系为：，和之间的关系为：其中时，对应的。综合上面的两个关系式，可以分析出体积只与有关，而只与有关。因此体积只与有关，它们之间的关系如下：（1）当时，联立可得到：（2）当时（其中对应的是时候的值），
