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1、厦门大学高等代数课程试卷数学科学学院 所有 系2004年级 各 专业主考教师：林鹭、杜妮 试卷类型：（A卷）注意：所有答案请写在答题纸上一 选择题（7题4分)1设n阶实对称矩阵A是正交矩阵，则_。A. A = I；B. A与I相似;C. ;D. A与I 合同。2 下列说法错误的是_.A. A、B为n阶实对称矩阵，若存在n阶可逆方阵C，使得，则A 与 B合同；B。 A为n阶实对称矩阵,且对任意n维向量x，都有，则A=0；C。 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；D. 实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性.3设A为n阶实对称矩阵，则下列条件中有_个必保证A为负定。 A的正惯
2、性指数=0； A的所有顺序主子式0； A的所有特征值0； 对任意非零向量x，都有。A. 1B. 2C. 3D。 44下列叙述中错误的是_。A. A为可逆矩阵，则必是正定矩阵；B. A为正定矩阵，则存在可逆矩阵Q,使；C. A为正定矩阵，则A的所有对角元必大于零；D. A为正定矩阵,则A必正交相似于对角矩阵。5设n阶实对称矩阵A的特征值为，则当t_时，为正定矩阵。A. B. ；C。 ；D。 .6设是欧氏空间V的线性变换，则下列命题中_不能作为是正交变换的等价命题.A。 在某一组基下表示矩阵是正交阵； B. ；C. 保积同构;D。 保持距离不变。7设是欧氏空间V的自伴随算子，则下列命题中正确的有_
3、个. 在V的某组基下表示矩阵是对角阵； 的特征值模为1; 的属于不同特征值的特征向量必正交； 。A. 1;B。 2； C。 3；D. 4。二 填空题（7题4分)1n阶实对称矩阵按合同分类，共有_类;而n阶对称正交矩阵按相似分类，共有_类。2设，是R上3阶方阵。则在B, C， D中,_与A正交相似，_与A合同。3 设为阶正交矩阵，且,则矩阵方程的解x = _。4中，定义内积为标准内积，则向量的夹角是_,距离是_。5设是欧氏空间V的一组标准正交基，,其中,则_是V1的一组标准正交基。6在中,与矩阵的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间W的维数为_。7设是n维欧氏空间V的一组基，关于这组基的度量矩阵G，V上线性变换在这组基下的矩阵为A，则的伴随算子在这组基下的矩阵是_，从而为自伴随算子的充分必要条件是_。三 （12分) 已知二次型。1请写出该二次型的相伴矩阵;2取什么值时，f是正定的？3当= 1时，将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替换。四 (12分）设A,B都是实对称矩阵，证明:存在正交矩阵T，使得的充分必要条件是A，B有相同的特征值。五 (10分）设A，B都是实对称矩阵，且B是正定的.若BA的特征值都大于0，证明A是正定矩阵。六 (10分)设是n维欧氏空间V上的正交变换，令，,则、都是V的子空间。证明:1，即,都有（x，y)= 0；2是的正交补。2
