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1、抛物线的常见结论一、知识点总结1. 抛物线的弦长公式l1k 2 x1x21k 2 ?( x1x2 ) 24x1x2 ，其中 k是弦所在直线的斜率， x1 , x2 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。l1m2y1y21m2?( y1y2 ) 24 y1 y2，其中弦长所在直线方程为xmyb ，y1, y2 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。2. 抛物线的焦点弦CAOFDB对于抛物线，y22 px， p0 ，倾斜角为 的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过 A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： x1 x2p2, y1 y2p24y 22p
2、x得 y 2p2y1 y2p2由p2 pmy0 （），因此( y1 y2 ) 2p 2x my2x1x24 p24 焦点弦长ABx1x2p ，焦点弦长AB2Psin 2y1y2( y1y2 )24y1 y2，结合（）式与m1得：ABsintansin2m24 p24 p24 p22 p11 2 pcos2sin 24 ptan2tan 2sin2sin 2ABsinsinsinsin2 p12 psin 2sinsin 2 112AFBFP11AFBF2P2p2 p2简单证明如下 :sin2y1y2y1 y2p2AFBFAF BFpsinsin 焦点三角形面积SP22sin简单证明如下：以AB
3、 为底，以 O到 AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：SAOB1 AB OF sin12 pp sinp222sin 222sin 焦点弦相关的几何关系：a. 以 AF/BF 为直径的圆与 y轴相切b.以 AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.c. 以 CD 为直径的圆与 AB 相切d.A,B 在准线上的投影对F的张角为 90 ，CFD90e. 以 A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。3. 经过 x轴上一点a, o 的直线与抛物线相交与两点A : x1 , y1 , B : x2 , y2，不
4、论其斜率为何值， 都有 x1x2 a2 , y1 y22 pa 成立。特别地，当 a2 p 时， x1 x2 y1 y2a22 pa0 ，此时 OA? OB0,OAOB 。反之结论亦能成立，当OAOB, OA?OB0, a2 p ,AB 所在直线经过定点2 p,0。二、相关题型总结1、与焦点弦相关的求值问题例1：过抛物线 C： x24 y 的焦点 F的直线交 C于 A ， B两点，若 |AF |5，则 | BF |=（）54A 2C 4D 5B 2例2：已知 F为抛物线 y21 x 的焦点，过 F作两条夹角为45 的直线 l1 l 2 ， l1 交抛物线于 A ， B 两211点， l2 交抛
5、物线于 C， D 两点，则的最大值为（）ABCD1+21+2D. 22A B 2C 124例 3:已知直线y3( x1) 交抛物线y24 x 于 A ， B 两点（点 A 在 x轴上方），点 F 为抛物线的AF焦点，那么=（）BFA 5B 4C 3D 2例4：已知抛物线 y22 px， p0 的焦点为 F，过点 F作互相垂直的两直线AB ， CD与抛物分别相交于 A， B 以及 C， D ，若111），则四边形 ACBD 的面积的最小值为（AFBF例5y22 px, p 0 的焦点做倾斜角为60?的直线，与抛物线交于A,B 两点 (A 在：过抛物线| AF |上方 )，则 | BF |例 6：
6、已知F 是抛物线y24x 的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1 的直线，与抛物线交于A,| AF |B 两点 (A 在上方 )，则| BF |例 7：过抛物线抛物线 y24x 的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B 两点，若 | AF |3 ,则三角形 AOB 的面积为2、抛物线中与结论3相关的求值问题例 1：设抛物线C： y22 px， p0 ，过点 M ( p,0) 的直线 l 与抛物线相交于A ， B两点， O为坐标原点，设直线OA ， OB 的斜率分别为k1, k2 ，则 k1k2 = （）A -1B 2C 2D不确定例 2：已知直线与抛物线y 24x 交于两点 A ， B且两交点纵坐标之
7、积为32 ，则直线恒过定点（）A （ 1， 0）B （ 2， 0）C（ 4，0）D（ 8， 0）例3:如图，已知直线与抛物线x22 py 交于 A， B 两点，且 OA OB ， OD AB 交 AB 于点 D，点D 的坐标为 (2, 4) ，则 p的值为（）35A 2B 4CD22例 4：设抛物线 y24 x 的焦点为 F ，过点2,0的直线交抛物线于A, B 两点，与抛物线准线交于点 C ，若SVACF2（）SVBCF，则 AF52(B) 4(C) 3(D) 2(A)32、抛物线综合问题例 1：直线 l 与抛物线y2 =4x 相交与 A ，B 两点，若OA OB（ O 是坐标原点） ，则 AOB 面积的最小值为（）A 32B 24C 16D 8例 2：若抛物线y2 =4x ，过其焦点F 的直线 l 与抛物线交于A ， B 两点，则 |AF|+2|BF| 的最小值为（）A 6B C 9D例 3：已知 A ，B 是过抛物线 y2=2px（ p 0）焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足 AB32AB ,则 AB 的值为（FB, S OAB）3A B C 4D 2
