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1、 1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1), 其中L是由y=0, x=1, y=x所围成区域的正向边界; 解 这里P=x2+y2, Q=y2-x2, , 由格林公式 . (2), 其中L为正向星形线(a0); 解 这里, , , 由格林公式 . (3), 其中L为在抛物线2x=py2上由点(0, 0)到的一段弧; 解 这里, , . 由格林公式 , 其中L、OA、OB、及D如图所示. 故 . (4)计算曲线积分, 其中L为圆周(x-1)2+y2=2, L的方向为逆时针方向. 解 这里, . 当x2+y20时 . 在L内作逆时针方向的e小圆周 l : x=ecosq, y=esinq(0q2
2、p), 在以L和l为边界的闭区域De上利用格林公式得 , 即 . 因此 . 2. 验证曲线积分在整个xOy面内与路径无关, 并计算积分值. 解 这里P=yexy+1, Q=xexy+1. 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 并且, 所以此曲线积分与路径无关. . 3. 验证下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整个xOy平面内是某一函数的全微分, 并求这样的一个u(x, y): (1)2xydx+x2dy ; 解 因为, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x, y)的全微分. . (5). 解 因为, 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x, y)的全微分. . 4. 利用曲线积分求由椭圆9x2+16y2=144所围图形的面积: 解 椭圆9x2+16y2 =144的参数方程为 x=4cosq, y =3sinq, 0q2p. . 6. 证明在力作用下, 质点在右半平面内移动, 该力所做的功与路径无关. 并求从点(2, 1)到点(1, 2)所做的功. 解 令, , 则F=Pi+Qj, F沿曲线L所做的功为 . 因为在右半平面内, 恒成立, 所以曲线积分与路径无关. 从点(2, 1)到点(1, 2)所做的功为 .
