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1、二一六届高三第一学期期末质量检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分DBDA AACC BD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.解：(1)因为直线、是函数图象的两条相邻的对称轴，所以，函数的最小正周期.2分从而.3分因为函数的图象关于直线对称，所以，即.5分又因为，所以6分 (2)由(1)，得.由题意，.7分由，得.从而.8分10分12分17.解：(1)因为成等差数列，所以.1分化简得.3分所以.
2、因为，所以.4分故6分 (2) 8分10分 12分18.解：（1）至少有一位学生做对该题的概率为4分（2）由题意，得6分又，解得，8分（3）由题意，9分10分12分19. （1）解法一：如图，以为坐标原点，分别以所在的方向为的正方向，建立空间直角坐标系则.2分法一： 设 即 解得所以又平面，所以平面.4分法二：取的中点，则 ，.所以，所以又平面，平面，所以平面.4分法三：设为平面的一个法向量，则，即取，则于是又，所以所以.又平面，所以平面.4分解法二：连接，设 因为是正方形，所以是线段的中点. 又是线段的中点，所以，是的中位线.所以2分又平面，平面，所以平面.4分（2）解法一：由（1）中的解法
3、一，.设为平面的一个法向量，则，. 取，则.于是 7分因为是正方形，所以因为底面，所以又，所以平面所以是平面的一个法向量.10分所以.11分所以，锐二面角的大小为. 12分解法二：如图，设 在中，过作于，连接5分 因为四边形是正方形，所以，即6分因为侧棱底面，平面，所以7分又，所以平面所以8分 又， ，所以平面 所以从而就是二面角的一个平面角9分 在中，11分 在中，所以 所以二面角的大小为12分20.解：（1）设椭圆的半焦距为因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，即.1分由题意，得.解得2分于是， .故椭圆的方程为.3分（2）（i）设，则.由于点与点关于原点对称，所以.故直线与的斜率之积
4、为定值.6分（ii）设直线的方程为，由消去并整理，得7分因为直线与椭圆交于两点，所以8分法一： 9分点到直线的距离.10分因为是线段的中点，所以点到直线的距离为.11分令，则.，12分当且仅当，即，亦即时，面积的最大值为.此时直线的方程为.13分法二：由题意，9分11分 以下过程同方法一.21.解：(1) .1分则.又，所以，曲线在点处的切线方程为.3分(2)解法1：由(1)得. 当时，因为为增函数，所以当时，因此.当且仅当，且时等号成立.所以在上为增函数.因此，当时，.所以，满足题意.6分 当时，由，得. 解得. 因为，所以，所以当时，因此在上为减函数.所以当时，不合题意.综上所述，实数的取
5、值范围是.9分解法2：. 令，则.4分 当时，. 由，得. 因此，当时，当且仅当，且时等号成立.所以在上为增函数.因此，当时，此时.所以，满足题意.7分 当时，由，得.当时，因此在上为减函数.所以，当时，.此时，不合题意. 综上，实数的取值范围是.9分方法3：当时，满足题意.时，.4分令，则,.上述不等式可化为.令，则在上恒成立. .令，则当时，在上为增函数.因此，当时, .所以，当时,，所以在上为增函数.6分令，由导数定义得.又，所以. 因此，当时，恒大于.8分所以，实数的取值范围是.9分(3) 由，得，.当时，为减函数；当时，为增函数. 所以的极小值.10分由，得.当时，,为增函数；当时，,为减函数.所以.11分.下证：时，.12分令，则.当时，为减函数；当时，,为增函数.所以，即所以，即所以综上所述，要证的不等式成立.14分
