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1、 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 若在上连续,则.(2) 设函数由参数方程所确定,则.(3) . (4) .(5) 微分方程的通解为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设,则在点处的 ( )(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在(C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在(3) 设是满足微分方程的解,
2、且,则在 ( )(A) 的某个领域内单调增加 (B) 的某个领域内单调减少(C) 处取得极小值 (D) 处取得极大值(4) 曲线的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(5)设,则有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求.(2) 计算.(3) 计算.(4) 计算.(5) 如图,设曲线方程为,梯形的面积为,曲边梯形的面积为,点的坐标为,证明：.四、(本题满分9分)设当时,方程有且仅有一个解,求的取值范围.五、(本题满分9分)设,(1) 求函数的增减区间及极值；(2
3、) 求函数图像的凹凸区间及拐点；(3) 求其渐近线；(4) 作出其图形.六、(本题满分9分)求微分方程的通解,其中常数.七、(本题满分9分)设在上连续且递减,证明：当时,.八、(本题满分9分)求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】在时是初等函数,因而连续；要使在上连续,在处也连续,这样必有.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,时,；.,从而有.(2)【答案】【解析】 ,.【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数
4、为 或 .(3)【答案】【解析】原式.【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.(4)【答案】,其中为任意常数【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是先进入积分号,原式 其中为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则 或者 (5)【答案】,为任意常数【解析】这是可分离变量的方程.分离变量得,两项分别对和对积分得到 化简有 ,即 ,为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【
5、答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒皮亚诺公式展开得,由假设,应该有,故由此,故应选(A).方法2：用洛必达法则.为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以, (若,则原式极限为,必有) .故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因左可导,.又不右连续在的右导数不存在,故选(B).方法2：,而 ,所以,在点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.故在点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).(3)【答案】(C)【解析】由于满足微分方程,当时,有.又由,有,因而点是的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求
6、极限,令,则当时,且有 ,所以轴和是曲线的两条渐近线.而和并非曲线的渐近线,因当和时,分别趋向于和.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有,则为水平渐近线；铅直渐近线：若有,则为铅直渐近线；斜渐近线：若有存在且不为,则为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故,且由定积分的性质,如果在区间上,被积函数,则.所以 , .因而 ,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对求导,得,两边再求导,得
7、,由于一阶导数不等于1,所以.以代入并解出,得 .【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 .(2)【解析】用换元积分法.观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令,则.当时,；当时,故原式.【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：注：对于双阶乘的定义如下:当为奇数时,；当为偶数时,.(3)【解析】方法1：用三角函数公式将展开,再化为重要极限的形式,利用等价无穷小因子替换,即时,从而求出极限.方法2：先取自然对数,求出极限后再用恒等式 .因为 ,于是 .(4)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式,并利用换元积分,结合拆项法求积分
8、,得 ( ),其中为任意常数.方法2：换元后,有原式.用待定系数法将被积函数分解:,.于是,.(5)【解析】对梯形的面积为,可用梯形面积公式,其中为梯形的高,、分别为上底和下底长度.对于曲边梯形的面积则用积分式求解.由于 ,所以 ,由此,.四、(本题满分9分)【解析】方程的解即为的零点.要证明方程有且仅有一个解,只需要证明是单调函数,且它的函数图像仅穿过轴一次就可以了.以下是证明过程.对求一阶导数,有.当时,单调减少,在有唯一的零点；当时,在单调减少,在单调增加,而当且仅当最小值时,才在有唯一零点,这时应该有.总之,当或时,原方程有唯一实根.五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求
9、出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间,然后根据在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外,还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.无定义点：,驻点：.+无定义0+无定义+上升无定义下降极小上升函数在单调增加,在单调减少,在凹,在取极小值；由于 所以为垂直渐近线.由于 所以是斜渐近线.3O2粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有,则为水平渐近线；铅直渐近线：若有,则为铅直渐近线；斜渐近线：
10、若有存在且不为,则为斜渐近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程有两个根为.当时,非齐次方程的特解应设为 .代入方程可以确定 .当时,应设 ,代入方程可以确定 .由此,所求的通解为 当时,； 当时,.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根,则
11、通解为(2) 两个相等的实数根,则通解为(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元,令,则 ,由此 .因为递减而,所以,上式的右端大于零,问题得证.方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小,需要分别在两区间内用积分中值定理：,由此,其中,；又因递减,.上式的右端大于零,问题得证.方法三：作为函数不等式来证明.令, .则 .由积分中值定理,有,其中为常数.由递减,为唯一驻点,且在由正变负,是的极大值点也是最大值点；由此,最小点必为端点或.从而有命题得证.【相关知识点】积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.八、(本题满分9分)O2【解析】如右图所示,曲线左右对称,与轴的交点是.只计算右半部分即可.作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元：,于是 .
