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1、编号：08005110111南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计） 题 目： 简述数学期望的性质及其应用 完 成 人： 班 级： 2008-01 学 制： 4年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 完成日期： 2012-03-31 目 录摘要 (1)关键词 (1)0引言 (1)1 数学期望的定义(1)2 数学期望的性质(1)2.1一维随机变量数学期望的性质(1)2.2多维随机变量数学期望的性质(3)3数学期望的应用(5) 3.1数学期望在农业中的应用(5) 3.2数学期望在生活中的应用(7) 3.3数学期望在经济中的应用(9)3.4数学期望在数学中的应用 (11)参考文献 (12)Ab
2、st ract (12)简述数学期望的性质及其应用作 者：xxx指导老师：xxx 摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活.关键词：随机变量；风险概率；数学期望0引言概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人类认识到随即现象的存在
3、是很早的，从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题.1数学期望的定义数学期望是最基本的数
4、学特征之一，它反映随即变量平均取值的大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随即变量，其定义如下：广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值. 数学定义：设为随机变量，其分布函数为，若，则记，并称为的数学期望.2数学期望的性质2.1一维随机变量数学期望的性质性质：设随机变量有数学期望，则=+，（均为常数）的数学期望是()=（）+,特别当=0时有（）=，即常数的数学期望就是他自己本身. 例（均匀分布） 设随机变量的密度函数为试求与. 解 =. = = = = 故 性质：设唯一随机变量，则（）及（）存在且证 由R-S积分的性质，利用熟知得不等式有 故E（）存在.另一方面：
5、=最后由即得. 性质：设随机变量的分布函数为，方差（）存在，则的方差特别当=0则有（）=0. 证 由性质1得=性质：函数=，R,当= （）时达到最小值.例 设与相互独立，且都服从求 解 有对称性，得 = =性质：若（）=0，则以概率为1地等于它的数学期望（），即= （）=1.2.2多维随机变量数学期望的性质 性质：数学期望具有单调性.性质：设n维随机变量（）的数学期望存在，则有（1）线性性质：对任意常数有 （2）若相互独立，则 证 （1）由R-S积分的性质得 = （2）仅证n=2并设为连续性的情形.设及为及的密度函数，按性质7（1），并有的独立性，有 性质：设为常数，为随机变量，且 则（1）其
6、中特别，若相互独立，则=0（当），且 （2）（施瓦兹不等式）3数学期望的应用 3.1数学期望在农业中的应用 (1)案列1 某农场种植某种蔬菜，根据以往经验，这种蔬菜的市场需求量X（t）服从（500，800）上的均匀分布.每售出一t此种蔬菜，农场可获利2.0万元；若销售不出去，则农场每吨亏损0.5万元.问该农场应该生产这种蔬菜多少吨才能使平均收益最大？ 解析：该农场种植此种蔬菜m t，则有500m800，设Y为在生产m t蔬菜条件下的收益额（万元），则收益额Y和蔬菜需求量X的函数关系为Y=f（X）.有所设条件知，当Xm时，则此m t蔬菜全部售出，获利2.0 m；当Xm时，则售出X，获利2.0 X
7、，还有（m-X）t卖不出去，获利-0.5（m-X），因此共获利2.5X-0.5m，故有：由定理可得： =根据极值定理，易知当m=740 t时，能使E (Y) 达到最大值，即该农场生产此种蔬菜740 t. (2)案列2 某农产拟投资2个项目：生产西红柿和辣椒，其收益都与市场状态有关.若把未来市场划分为好，中，差三个等级，根据市场调查研究，其发生的概率分别为0.3，0.5，0.2，生产西红柿的收益X（万元）分别为12，7，-4时，对应的P值分别为0.3，0.5，0.2；生产辣椒的收益Y（万元）分别为9，5，-2时，对应的P值分别为0.3，0.5，0.2.该农场是生产西红柿还是生产辣椒好呢? 解析：
8、先考察数学期望 万元 万元 从数学期望来看，生产西红柿收益大，比生产辣椒多收益1.5万元.再考察它们各自的方差于标准差. 因为方差于标准差越大，收益的波动越大，从而风险也越大.因此，从方差于标准差来看，种植辣椒较稳妥，减少风险约32，但少收入1.5万元.若农场的负责人敢于冒险，就选择种西红柿，成功后可以增加收益1.5万元. 3.2数学期望在生活中的应用 (1)求职决策问题 设想某大学生甲在求职过程中收到了三个公司的面试结果，如果按照面试时间的顺序来划分，我们将其标记为A公司，B公司，C公司.假定这三个公司每个公司有三种不同的职位：极好，好及一般.估计能得到这些职位的概率为0.2,0.3,0.4
9、，被拒绝的可能性为0.1，按规定，双方在面试后要立即作出决定提供，接受或是拒接某种职位，那么应该遵循什么策略应答呢？三家公司的工资承诺如下表： 我们的方案是采取最大期望收益最大原则. 按照面试顺序的规则来看，我们先从A公司开始面试，这样甲在面试A公司时必然会权衡考虑B，C公司的机会和待遇.同样道理，在选择面试B公司时自然也会考虑C公司的机会和待遇.通过三个公司机会和待遇的横向和纵向比较，从而选择一个效益最大化的公司.一般来说，从第三次的面试期望值来看，也就是从C公司来看，其工资的期望值表现为：2700元.而B公司的职位工资是2500元，这样经过横向比较，往往会选择去C公司.而第二次面试的期望值
10、可有以下数据求出：极好的职位工资3900元，好的职位工资2950元，接受第三次面试期望工资2700.所以在最后考虑A公司时，只有极好的职位工资超过3015元，甲才会接受. 这样，对于三次面试应采取的策略是：A公司只接受极好的职位，否则去B公司，在B公司可接受极好的和好的职位，否则去C公司，在C公司可接受任何可能提供的职位.在这一策略下甲工资总的期望值为元.因此，当我们在求职时如果得到多份面试时，应该进行横向纵向的衡量比较，遵循效益期望最大化原则，从而提高决策的满意度和期望值. (2)风险投资问题 假设这样的情形：一个人想用10万元进行一年的短期投资.常见的做法往往是进行购买股票和存入银行.股票
11、的收益要取决于经济的运行趋势，如果经济运行较好则获利较多，运行一般则获利中等，运行不好则要损失许多.当时如果存入银行，假定年利率为5，则利息为5000元.我们假定经济运行情况的良好，中等，较差的概率为20,40,10，那么我们该选择哪种方案才能获得利益最大呢? 我们可以看出，如果在经济运行良好的情况下，显然购买股票时最划算的.但如果经济运行较差的话，存入银行有比较合适.然而，在现实情况中，我们无法估计这种不确定性，就要估计二者直接的获利期望大小.通过二者期望值的综合比较，发现购买股票的获利收益更大，因此，选择购买购买股票这一方案更为合适. (3)彩票概率问题 我们首先假设福利彩票每张为2元钱，每张彩票对应一个中奖号码，每售出一百万张设置一个开组奖项.中奖号码为一个6位数（可以认为从000000到999999中的每一个数出现的可能性相同），兑奖股则如下：如果兑奖号码与中奖号码的最后一位是一致的，则获六等奖，奖励为4元钱（中奖概率为0.1），以此类推，如果最后两位一致，则获五等奖，奖励为20元（中奖概率为0.01），最后三位如果一致，则获四等奖，奖励为200元（中奖概率为0.001），最后四位一致，则获三等奖，奖
