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1、 抽象代数基础 教案 授课时间 第 30 次课 授课章节2.6 整环的因子分解任课教师及职称李刚副教授教学方法与手段讲授法、板书课时安排6使用教材和主要参考书抽象代数基础 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4近世代数 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7教学目的与要求：明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环教学重点，难点：主理想整环、唯一分解整环、欧式环之间的关系教学内容： 定义1 设R是一个整环（1） R中的（乘法）可逆元称为是R的单位（2） 设，若存在使a=bc，则称b整除a，记为。（3） 设，若，则称a与b相伴。命题1 a与b相伴存在单位使证明： 由知存在使b=a
2、c，a=bd，于是a=acd，若a=0，则b=ac=0，故a=b；若，则由a=acd消去a得cd=1，所以c，d为R的单位，因而总存在单位使。 若有单位使，则，所以，即a与b相伴。定义2 设R是一个整环，（1） 设且，则R中的单位及a的相伴元都是a的因子，称为是a的平凡因子，a的非平凡因子称为a的真因子。（2） 设且，若a不是单位且没有非平凡的因子，即a的因子只有单位和a的相伴元，则称a是既约元。命题2 设R是整环，则（1） a是单位（a）=R（2）（3） a与b相伴（a）=（b）（4） b是a的真因子（5） a是既约元（a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使命题3 设R是整环，则R的
3、既约元的相伴元也是既约元。证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。定义3 设R是整环，且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由必有或者，则称p是素元。例如：在Z中，素数是素元，Fx中，不可约多项式是素元。命题4 设R是整环，且p不是单位，则p是素元（p）是素理想定义3 设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。命题5 设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则 I是素理想I是极大理想命题6 设R是主理想整环，是非零非单位的元素，则p是素元p是既约元证明： 已证， 假设p是既约元，我们来证明（p）是极大理想。设I是R的一个理想使，
4、教学内容：由于R是主理想整环，所以存在使得I=（a），因而存在使p=ab，而p是既约元，所以a为单位或者b为单位，若b为单位则（p）=（a），矛盾，所以a必为单位，从而I=（a）=R，所以（p）是R的极大理想，从而也是素理想，从而p是R的素元。定义4 设R是整环，假设从R的非零元的集合到非负整数集合有一个映射使得对，都存在使，其中或， （*） 则称是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。定理1 欧式环一定是主理想整环证明：设是欧式环，I是R的任意一个理想，若I=0，则显然I是主理想。假设，则集合非空，且存在最小数，设使得是这个集合中的最小数，则对都有，下证I=（a）
5、。 对，由于R是欧式环，所以存在使b=qa+r，其中r=0或者，易证r=0，从而，因而I=（a）。所以R是一个主理想整环。定义5 设R是一个整环，如果R满足下列条件（1）（存在性）R中的每个非零非单位的元素都可以表示成一些既约元的乘积的形式：其中都是既约元（2）（唯一性）若，其中都是既约元，则必有m=n且适当调整顺序后有与相伴，则称R是一个唯一分解整环。 命题7 R是一个唯一分解整环，是非零非单位的元素，则 p是素元p是既约元定理2 主理想整环是唯一分解整环于是，欧式环，主理想整环和唯一分解整环之间的关系是：欧式环主理想整环唯一分解整环定义6 设R是一个整环，（1） 如果，则称d是的一个公因子
6、（2） 如果d是的公因子而且若也是的一个公因子则必有，则称d是的一个最大公因子。教学内容：定理3 唯一分解整环中的任意两个元素都有最大公因子命题8 设R是一个主理想整环，则d是a，b的最大公因子（a）+（b）=（d），而且对a，b的任意最大公因子（a，b），存在使（a，b）=sa+tb 证明： 若d是a，b的最大公因子，则且，于是且，从而。由于R是主理想整环，所以存在使，则，即，而d是a，b的最大公因子，所以，于是，即，所以假设，则由，得且。又若且，则，于是，故，则，所以d是a，b的一个最大公因子。由于，所以存在使。 抽象代数基础 教案复习思考题、作业题： P57 1、3、5、7、9、13 下次课预习要点唯一分解整环上的多项式环实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日
