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1、最小一乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数p(X)同所给数据点(xi，yi) (i=0,l,m)误差r p(xi) yi(i=O,l,m)ri p(xi) yi(i=0,1,-,m)绝对值的最大值黑:叮，即误差向量()m |r|r (*仝rm)T的8范数；二是误差绝对值的和i0，即误差向量匸的1 mr2范数；三是误差平方和io的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种 方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方,mr2因此在曲线拟合中常采用误差平方和io i来 度量误差ri(i=0，1，m)的整 体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据(
2、xi，yi) (i=0,1,，m)，在取定的函 数类 中，求p(x)，使误差：p(xi) yi(i=0,1,m)的平方和最小，即mmr2p(x) y 2 minii ii0 =i0从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xr yi) (i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线 y p(x)(图6-1)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟二多项式拟合假设给定数据点(xi，yi) (i=0,1,m)，为所有次数不超过n(n m)的多项式构p (x)成的函数类，现求一 nna xk k k0,使得当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式(1)的pn(x)称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=
3、1时，称为线性拟合或直线拟合。显然I = X (X a x k - y ) 2 k i i i=0 k =0为a , Of”的多元函数，因此上述问题即为求1 = 1 (a 0, a1, 由多元函数求极值的必要条件，得dI = 2区(工a xk - y )xj = 0,i i i) 的极值 问题。dakji=0 k =0j 二 0,1,，n(2)区(迟 xj+k) aikk = 0 i=0(3)是关于a, a1，a=Xxjy ,iii=0j = 0,1,n(3)i=0区xnii=0的线性方程组，用矩阵表示为nXm xiXim=0xx2ii=0区 Xn+1ii=0Xni夕0x n+1ii=0 区x
4、 2 nii=0na0a1(4)式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式(4)中解出ak (k=0,l,，n)，从而可得多项式 p (x)=工 a xknk=0 k(5)可以证明，式(5)中的Pn (x)满足式(1)，即Pn (劝为所求的拟合多项式。我 迟p (x ) - y们把 i=0 n i i由式(2)可得I称为最小二乘拟合多项式Pn (x)的平方误差，记作 IHI2 =XP (x ) - y i2n iii=0IHI2 = X y2 -区 a (迟 xky )2iki ii=0k=0i=0多项式拟合的一般方法可
5、归纳为以下几步：(1)由已知数据画出函数粗略的图形一一散点图，确定拟合多项式的次数n；ii =0(6)迟 xj (j = 0,1, ,2n)迓 xjy(2) 列表计算 i=0 i和 i=0 i(3) 写出正规方程组，求出a0,a1,a ；p (x) = X a xk(4) 写出拟合多项式”k=0 k在实际应用中，n m或n n个相异零点， =0，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组(4) p ( x) = H a x k 必有唯一解。定理2设a0ai，an是正规方程组(4)的解，则nk=0 k是满足式(1)的最小二乘拟合多项式。n须有a0 = ai =anp ( x ) = 0 ni
6、由代数基本定理，必Q ( x ) = H 证只需证明，对任意一组数b0, 1，n组成的多项式b x k k=0 k ，恒有(x )一 y 12 H p (x ) - y 1i即可。HQ (x ) 一 y 12 一 Hp (x ) 一 y 12n i in i in i in ii =0i=0nii=0i=0= HQ (x ) p (x )1 + 2H(Q (x ) p (x )(x ) yn i n in ii=0i=0b 一 a )x j j j i i=0 j=01工a xk 一 y k i i k=0a jji=0a xk 一 y xj k iik=0因为ak (k=O,l,，n)是正规
7、方程组(4)的解，所以满足式(2)，因此有区Iq (x )一 y 1 一区p (x )一 y 1 0n i i n i ii=0i=0故Pn (X)为最小二乘拟合多项式。*四多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而 且 正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重； 拟合节点分布的区间X0 Xm B扁离原点越远，病态越严重； Xi (i=0,l,，m)的数量级相差越大，病态越严重。 为了克服以上缺点，一般采用以下措施： 尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合； 不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点X-关于原点对 称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为：i = 0,1,，m(9) 对平移后的节点x- (i=0,l,，m),再作压缩或扩张处理：x
