《量子力学复习提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学复习提纲（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2008级材料物理专业量子力学复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实 验结果时遇到了严重的困难。爱因斯坦在普朗克“能量子”假设的启发下， 提出了 “光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子 流。2. 描述光的粒子性的能量E和动量P与描述其波动性的频率 （或角频率）_和波矢K由Planck- Einstein方程联系起来，即：E = hv =力； h P = _n =力 K。力3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二 重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。_4. 描述微
2、观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E和动量P， 描述其波动性的物理量为频率 （或角频率）和波长，它们间的关系可用 德布罗意关系式表示，即：E = hv=曲；P = hn =方K。力5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理 量来描述，而是用波函数来描述。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，即：w p （r, t） = Ae三3r-E）。6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成 正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件
3、称为波函 数的标准条件。8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为j Wm*W产=（m主n。 、人八 T t . t It 、， ar-* 、，人 1?kt 人人人 人It . I 人八，.，9. 设 F和G 的对易关系为F, G = ik，且kF = F - F, AG = G - G ，则 F和G 的测不准关系式为：奇元-函元；如果k不等于零，则的均方偏差不会同时4.一 一-、-、-人人为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F和G不能同时测定。10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关
4、；3）几率流密度与时间无关。11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为：i 1 n 冗i中=W （x）e一h勺= sin （x + a）e一方气,n = 1,2,3,当 n 为奇数时，n nva2a波函数具有偶宇称，当n为偶数时，波函数具有奇宇称。12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成：Wnm （r,9,）=七（r）Ym （0刀），其中，主量子数n=1，2，3，角量子数l=0， 1，2，.，n-1，磁量子数m=0，1，2，.，l。Wm （r,0刀）是算符h、L2和L共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H、L2和L zz可以同时测得，体系 E 一
5、*Z2。4， L2= l（l + 1）h2，L = mh。 n2n2h2z13. 角动量算符L2和Lz对易，即L2,、 = ，因此它们有共同的本征函数完 备系Ylm （0 ,中）。在Ylm （0 ,中）描述的状态中，力学量L2和Lz可以同时测得， L2= l（l + 1）h2，L = mh，此时总磁矩（沿z轴方向）M = -? = 一日m。14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n个能级En只与n有关， 而与l、m无关，是n2度简并的；若n = 2时，对应的波函数有W2（r,0,中）、 W21（r,0,中）、W211（r,0,）和W211（r,0刀）。而在非点电荷的库仑场中运动的电
6、子，如Li，Na，K等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子 数n和角量子数l决定，仅对m简并。 .一.一 /V . 人 .一一. 一一.一.一 一 一 .一15. 两个算符F与G有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在 两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同 时有确定值。16. 选定一个特定Q表象，就相当于在Hilbert空间中选定一个特定的坐标系， 力学量算符Q的正交归一完备函数系匕(工)构成Hilbert空间中的一组正交 归一完备基底。任意态矢量W (乙t)在Q表象
7、中的表示是一列矩阵，矩阵元an (t) 是态矢量W (4,t)在Q算符的本征矢上的投影，即:an (t) = j un (x)*W (x,t)dx。17. 选定力学量Q表象，Q算符的正交归一的本征函数完备系记为u (x)，一n力学量算符F在Q表象中是一个矩阵F=(Fmn)，其矩阵元为： 一.上. n、F =j u*(x)F(x, 一 ih - )u (x)dx ； 该矩阵为厄米矩阵，对角矩阵元为实数。一力学 量算符F在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F的本征值。18.在坐标表象中，x = x，px = _ lh ；而在动量表象中，x = ihd，px = 办g xp。19. 若力
8、学量算符F不显含时间t，且与哈米顿算符H对易，力学量F的平均一厂=值F不随时间而变化，则称F为运动积分，或在运动中守恒。20. 动量算符P、P、P彼此对易，它们有共同的本征函数完备系:x y Z1 1W p (r)=次)_32 W ；在该本征函数描述的状态中，P、P、P同时具有确定 x的值。要点之二L态叠加原理：若1，2,是粒子的可能状态，则粒子也可处 n在它们的线性迭加态=c1 1+c2 2+.+ Cn n；当体系处于 态时，发现体系 处于k态的几率是kJ2(k=1，2，3，)，并且Z |匕|2= 1。k2. 隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。它是粒 子具有波动性的
9、生动表现。只有当粒子的质量和势垒宽度比较小时，这种效应才 显著。UUUU3. 厄密算符：若算符F满足Jw Fdx = J (Fv )dx，则算符F称为厄密算 符，其性质是厄密算符的本征值必为实数，因此量子力学的力学量算符都是厄密 算符。4. 偶宇称与奇宇称：在空间反射下，如果有w(-己t) = v厅,t)，则称波函数有 确定的宇称。当V(-己t) =w(r,t)，则称波函数具有偶宇称；当V(-r,t) = -W(r,t)， 则称波函数具有奇宇称。5. Hilbert空间：以某一力学量的本征波函数为基底，构成的无限维的函数空 间，称为Hilbert空间。任意态矢量V (x,t)在该力学量表象中的
10、表示是一列矩 阵，矩阵元是态矢量V (x,t)在该力学量算符的本征矢上的投影。6. 测不准原理：量子力学揭示，要同时测出微观粒子的位置和动量，其精度是 有一定的限制。海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是k， 那么同时测量其动量也有一个不确定范围询x，且位置不确定度软和动量的不 确定度询 的乘积总是大于一定的数值，即软询 J。粒子的位置和动量不xx 2能同时准确测定源于物质具有微粒和波动二象性。测不准原理是普遍存在的；若 两个力学量不对易，则它们不可能同时被准确测定，其不确定度的乘积总是大于 一定的值。7. 定态：当薛定谔方程中的势能U与时间t无关，则薛定谔方程的解可表示成 W=V
11、厅)f(t)，通过分离变量求解薛定谔方程，得到薛定谔方程的解是-T=V (r)e h (分离变量过程中引入的常数E为粒子的能量)，当粒子处在由 该波函数所描述的状态时，粒子的能量E有确定的值，这种状态称为定态。8. 零点能:也就是线性谐振子基态的能量E0 = 2府，其中 是谐振子的角频率。 零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零 的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子 的晶体散射实验所证实。要点之三:1. 请阐述力学量的算符、力学量算符的本征值、力学量测量值及力学量平均值 之间的关系。答：量子力学中的所有力学量用厄米算符来表示。算符
12、的本征函数组成正交归一本征波函数完备系。当体系处于力学量算符F的本征态 时，F表示的力 n学量F有确定值，该值就是F在n态中的本征值n，此时力学量F的测得值即 为n，的平均值为当体系处在一般状态 中，F表示的力学量F没有确 定值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示力学量算符F的本征值(n=1,2,3,.)，每个可能值都以确定的几率被测得，F的平均值为nF =fv*FvdT。在(2)中，0 -8,根据波函数满足的连续性和有限性条件，只有当w =0 时，(2)才能成立，所以有w = 0(尤 a)(3)为了方便，引入符号a =f曾2，则(2)式简写为I加J方 2 d 2W+a 2w = 0(
13、0 x a) (4)2m dx 2它的解是W = A sin ax + B cos ax(5)根据W的连续性，由(3)式的w = 0(x a)，代入(5)，有A sin a - 0 + B cos a - 0 = 0A sin aa + B cos aa = 0由此求得B=0A sin a a = 0A和B不能同时为零，否则w到处为零，在物理上无意义。因此求得n = 1,2,3,归一化的定态薛定谔方程的解为:(n兀) x ,I aJ2 sin =Ml a0基态波函数：w i = ：2sisin Xx a, x 0将基态波函数用动量本征函数展开:w = j C (p)w (x)dp,w = e
14、力p2兀力i pxC1(p) = 2= jsin(竺)eMx俨-*-+=_ Il . 1 e ) T + e 一1J2航腥2兀p兀p一 一一 + La方a方(1) 动量的几率分布为：|q(p)|2 =(2) 动量的平均值：p =3. 在一维无限深势阱中运动的粒子，方势阱U(x) = F fX - 0, X - a，如果粒 |0,当0 x a子的状态由波函数W(x) = Ax(a x)描写，其中A为归一化常数，a为势阱宽度。求粒子能量的概率分布和能量平均值。解：由于势阱u (x)=F fx -0, x -a，阱内粒子所满足的定态薛定谔方程为 10,当0 x a(1)方 2 d 2W=Ew 2m dx 2在阱外粒子满足的定态薛定谔方程为方 2 d 2W/c + U w = Ew(2)2m dx 20在(2)中，U 0 -8,根据波函数满足的连续性和有限性条件，只有当w = 0 时，(2)才能成立，所以有W = 0(x a)(3)为了方便，引入符号a =f2mE)2，则(2)式简写为I加J方 2 d 2W +a2w = 0(0 x a) (4)2m dx 2它的解是W = A sin ax + B cos ax(5)根据W的连续性，由(3)式的w = 0(x a)，代入(5)，有A sin
