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1、word统计概率知识点梳理总结第一章随机事件与概率一、教学要求 1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算 2了解概率的各种定义，掌握概率的根本性质并能运用这些性质进展概率计算 3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进展概率计算 4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进展概率计算 5掌握贝努里概型与其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率本章重点：随机事件的概率计算二、知识要点 1随机试验与样本空间具有如下三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在一样的条件下重复地进展； (
2、2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作 2随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)看作特殊的随机事件 3*事件的关系与运算 (1) 包含：假如事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作(或) (2) 相等：假如两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作 (3) 和事件：“事件A与事件
3、B中至少有一个发生这一事件称为A与B的和事件，记作；“n个事件中至少有一事件发生这一事件称为的和，记作简记为 (4) 积事件：“事件A与事件B同时发生这一事件称为A与B的积事件，记作(简记为)；“n个事件同时发生这一事件称为的积事件，记作简记为或) (5) 互不相容：假如事件A和B不能同时发生，即，那么称事件A与B互不相容(或互斥)，假如n个事件中任意两个事件不能同时发生，即(1ij几)，那么，称事件互不相容 (6) 对立事件：假如事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即且，那么，称A与B是对立的事件A的对立事件(或逆事件)记作 (7) 差事件：假如事件A发生且事件B不发生，那么，称这个
4、事件为事件A与B的差事件，记作(或) (8) 交换律：对任意两个事件和B有，(9) 结合律：对任意事件A，B，C有，(10) 分配律：对任意事件A，B，C有， (11) 德摩根De Morgan法如此：对任意事件A和B有, . 4频率与概率的定义 (1) 频率的定义设随机事件A在n次重复试验中发生了次，如此比值n称为随机事件A发生的频率，记作，即. (2) 概率的统计定义在进展大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率在一个稳定的值(01)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值为概率，即 (3) *古典概率的定义具有如下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：
5、 (i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作; (ii) 在每次试验中，每个样本点(出现的概率一样，即在古典概型中，规定事件A的概率为 (4)几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为 (5)概率的公理化定义设随机试验的样本空间为，随机事件A是的子集，是实值函数，假如满足如下三条公理：公理1 (非负性) 对于任一随机事件，有0；公理2 (规X性) 对于必然事件，有；公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件，有，如此称为随机事件的概率 5*概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率
6、的一些重要性质 (1) (2) (有限可加性) 设n个事件两两互不相容，如此有 (3) 对于任意一个事件A： (4) 假如事件A，B满足，如此有, (5) 对于任意一个事件A，有 (6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有.对于任意n个事件，有. 6*条件概率与乘法公式设A与B是两个事件在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，记作当，规定.在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质乘法公式：对于任意两个事件A与B，当,时，有.7*随机事件的相互独立性如果事件A与B满足，那么，称事件A与B相互独立关于事件A，月的独立性有如下两条性质： (1) 如果，那么，事件A与B相互独立的充分必
7、要条件是；如果，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响 (2) 如下四个命题是等价的： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与相互独立； (iii) 事件与B相互独立； (iv) 事件与相互独立对于任意n个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，假如事件总满足，如此称事件相互独立这里实际上包含了个等式 8*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件发生的概率，如此在n次重复独立试验中，事件恰发生次的概率为，称这组概率为二项概率 9*全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：如果事件两两互不相容，且，如此第二章离散型随机变量与其分布一、教
8、学要求 1理解离散型随机变量与其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布与其应用理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念与性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布4掌握离散型随机变量独立的条件 5. 会求离散型随机变量与简单随机变量函数的概率分布本章重点：离散型随机变量的分布与其概率计算二、知识要点 1一维随机变量假如对于随机试验的样本空间中的每个试验结果，变量都有一个确定的实数值与相对应，即，如此称是一个一维随机变量概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机
9、变量的分布 2*离散型随机变量与其概率函数如果随机变量仅可能取有限个或可列无限多个值，如此称为离散型随机变量设离散型随机变量的可能取值为，假如，如此称离散型随机变量的概率函数，概率函数也可用如下表格形式表示：*概率函数的性质 (1)， (2)由的概率函数可以算得概率，其中，是实数轴上的一个集合*常用离散型随机变量的分布(1)01分布，它的概率函数为，其中，或1，(2)二项分布，它的概率函数为，其中，()泊松分布，它的概率函数为，其中， ()均匀分布，它的概率函数为，其中，二维随机变量假如对于试验的样本空间中的每个试验结果，有序变量都有确定的一对实数值与e相对应，即，如此称为二维随机变量或二维随
10、机向量6*二维离散型随机变量与联合概率函数如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称为二维离散型随机变量二维离散型随机变量的分布可用如下联合概率函数来表示：其中， 7二维离散型随机变量的边缘概率函数设为二维离散型随机变量，为其联合概率函数，称概率为随机变量的边缘概率函数，记为并有，称概率为随机变量Y的边缘概率函数，记为，并有=. 8随机变量的相互独立性设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论9随机变量函数的分布设是一个随机变量，是一个函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量，
11、下面来求这个新的随机变量的分布设离散型随机变量的概率函数为如此随机变量函数的概率函数可由下表求得但要注意，假如的值中有相等的，如此应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加第三章连续型随机变量与其分布一、教学要求 1理解连续型随机变量与其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布与其应用 2理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以与连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率 3理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件 5掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数
12、的概率意义(不考)6会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布(不考)会求简单随机变量函数的概率分布本章重点：一维与二维随机变量的分布与其概率计算,边缘分布和独立性计算二、知识要点 1*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量取值不大于实数的概率称为随机变量的分布函数，记作, 即2分布函数的性质(1) () 是非减函数，即当时，有； (3) ; (4) 是右连续函数，即由随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率也可以求得 3联合分布函数二维随机变量的联合分布函数规定为随机变量取值不大于实数的概率，同时随机变量取
13、值不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即 4联合分布函数的性质 (1)； (2)是变量(固定)或(固定)的非减函数； (3) ，；(4)是变量(固定)或(固定)的右连续函数； (5)5*连续型随机变量与其概率密度设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有成立，如此称X为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度6*概率密度与连续型随机变量的性质；连续型随机变量的分布函数为是连续函数，且在的连续点处有；4设为连续型随机变量，如此对任意一个实数c，； (5)设是连续型随机变量的概率密度，如此有7*常用的连续型随机变量的分布(1)均匀分布，它的概率密度为其中， (2)指数分布，它的概率密度为其中， (3)正态分布，它的概率密度为，其中，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为，标准正态分布的分布函数记作，即，当出时，可查表得到；当时，可由下面性质得到设，如此有；*二维连续型随机变量与联合概率密度对于二维随机变量(X，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，如此为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量与联合概率密度的性质 (1) ； (2) ； (3)
