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1、现代控制理论实验指导书王璐自动化07-1班山东科技大学机电系实验一 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换一、实验目的1 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2 通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。二、实验要求学习和了解系统状态方程的建立与传递函数相互转换的方法；三、实验设备1 计算机1台2 MATLAB6.X软件1套。四、实验原理说明设系统的模型如式(11)示。 (11)其中A为nn维系数矩阵、B为nr维输入矩阵 C为mn维输出矩阵，D为传递阵，一般情况下为0。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(
2、12)示。 (12)式(1.2)中，表示传递函数阵的分子阵，其维数是mr；表示传递函数阵的按s降幂排列的分母。五、 实验步骤1 据所给系统的传递函数或（A、B、C阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(12)，采用MATLA的file.m编程。注意：ss2tf和tf2ss是互为逆转换的指令；2 在MATLA界面下调试程序，并检查是否运行正确。3 已知MIMO系统的系统的传递函数,求系统的空间状态表达式。系统的传递函数为: (14)4 从系统的传递函数(1.4)式求状态空间表达式。程序:num =0 0 12;0 1 5 3; %在给num赋值时，在系数前补0，必须使num和d
3、en赋值的个数相同；den =1 2 3 4;A,B,C,D=tf2ss(num,den)程序运行结果:A = -2 -3 -4 1 0 0 0 1 0B = 1 00C = 0 1 2 1 5 3D = 0 0在已知系统的状态空间表达式可以求得系统的传递函数，现在已知系统的状态空间表达式来求系统的传递函数，对上述结果进行相应的验证。程序如下：程序:%首先给A、B、C、D阵赋值；A=-2 -3 -4;1 0 0;0 1 0;B=1;0;0;C=0 1 2;1 5 3;D=0;0;%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为num,den=ss2tf(a,b,c,d,u)num,den=ss2tf(
4、A,B,C,D,1) 程序运行结果：num = 0 -0.0000 1.0000 2.0000 0 1.0000 5.0000 3.0000den =1.0000 2.0000 3.0000 4.0000从程序运行结果得到:系统的传递函数为:实验2 多变量系统的能控、能观分析一、实验目的1 学习多变量系统状态能控性分析的定义及判别方法；2 学习多变量系统状态能观性分析的定义及判别方法；3 通过用MATLAB编程、上机调试，掌握多变量系统能控性判别方法。二、实验要求1 掌握系统的能控性分析方法。2 掌握能观性分析方法。三、实验设备1 计算机1台2 MATLAB6.X软件1套。四、实验原理说明1
5、设系统的状态空间表达式 （21）系统的能控分析是多变量系统设计的基础，包括能控性的定义和能控性的判别。系统状态能控性的定义的核心是：对于线性连续定常系统（21）,若存在一个分段连续的输入函数U（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任意给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。2 能控性判别状态能控性分为一般判别和直接判别法，直接判别法是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。输出能控性判别式为：
6、（22）状态能控性判别式为： （23）系统的能观分析是多变量系统设计的基础，包括能观性的定义和能观性的判别。系统状态能观性的定义：对于线性连续定常系统（21）,如果对t0时刻存在ta，t0ta，根据t0，ta上的y(t)的测量值，能够唯一地确定S系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统S在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在t0，ta区间上能观测。状态能观性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。状态能控性判别式为： （24）3 只要
7、系统的A的特征根实部为负，系统就是状态稳定的。式(12)又可写成： (2.5)当状态方程是系统的最小实现时，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO（有界输入有界输出）稳定等价；当时，若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO稳定的。五、实验步骤1 先调试例2.1、例2.2系统能控性、能观性程序，然后根据所给系统的系数阵A和输入阵B，依据2.3能控性、能观性判别式，对所给系统采用MATLA的file.m编程；在MATLA界面下调试程序，并检查是否运行正确。2 调试例2.3系统稳定性分析程序，验证稳定性判据的正确性。3 按实验要求，判断所给的具有两个输入的四阶系统的能控性。已知系数阵A和输入阵B分别如下
8、，判断系统的状态能控性程序：A =3 0 2 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1B = 0 1 0 0 0 1 1 0 q1=B; q2=A*B; %将AB的结果放在q2中 q3=A2*B; %将A2B的结果放在q3中， q4=A3*B; %将A3B的结果放在q4中， Qc=q1 q2 q3 q4 %将能控矩阵Qc显示在MATLAB的窗口Q=rank(Qc) %能控矩阵Qc的秩放在Q程序运行结果:Qc = 0 1 0 5 2 21 12 87 0 0 0 1 1 4 4 16 0 1 1 3 3 12 10 50 1 0 1 0 1 1 2 5Q = 4从程序运行结果可知，能控
9、矩阵Qc的秩为4=n，所以系统是状态能控性的。已知系数阵A和输入阵C分别如下，判断系统的状态能观性。，程序：A =3 0 2 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1C=1 0 1 0; q1=C; q2=C*A; %将CA的结果放在q2中 q3=C*A2; %将CA2的结果放在q3中， q4=C*A3; %将CA3的结果放在q4中， Qo=q1; q2; q3;q4 %将能观矩阵Qo显示在MATLAB的窗口Q=rank(Qo) %能观矩阵Qo的秩放在Q程序运行结果:Qo = 1 0 1 0 4 1 4 1 16 6 17 5 65 28 72 22Q = 4从程序运行结果可知，能控
10、矩阵Qo的秩为4=n，由式（24）可知，系统是状态完全能观性的。实验3应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵指数(状态转移矩阵)实验原理说明应用MATLAB 符号数学工具箱求矩阵指数闭合解析式基于矩阵指数的拉普拉斯变换求解法，可调用MATLAB 符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）中的符号运算函数先算出“预解矩阵” ，再对“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得 另外，MATLAB 符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指令expm（）可调用。实验内容及结果已知 A=4 1 -2;1 0 2;1 -1 3,应用MATLAB求实验程序解 MATLAB Program 2_1a
11、给出了基于拉普拉斯变换求 的MATLAB 程序。%MATLAB Program 2_1a syms s t %定义基本符号变量s 和tA=4 1 -2;1 0 2;1 -1 3;FS=inv(s*eye(3)-A); %求预解矩阵eAt=ilaplace(FS,s,t); %求eAt=simplify(eAt) %化简 的表达式程序MATLAB Program 2_1a运行结果如下eAt = (1+t)*exp(3*t), t*exp(3*t), -2*t*exp(3*t)t*exp(3*t), -exp(3*t)+t*exp(3*t)+2*exp(t), -2*t*exp(3*t)-2*ex
12、p(t)+2*exp(3*t)t*exp(3*t), t*exp(3*t)+exp(t)-exp(3*t), -exp(t)-2*t*exp(3*t)+2*exp(3*t)实验程序应用数值矩阵的指数运算函数expm（）求 对应于 t=t1（ 为某一常数）的值 MATLAB Program 2_2给出了调用expm（）求题中矩阵A的矩阵指数t=t1=0.1对应于 的值的MATLAB 程序。程序%MATLAB Program 2_2 A=4 1 -2;1 0 2;1 -1 3; T=0.1;eAT=expm(A*T)程序MATLAB Program 2_2运行结果如下：eAT = 1.4848 0.1350 -0.2700 0.1350 0.9955 0.21940.1350 -0.1097 1.3246
