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1、高 等 数 学第四次课教学内容：无穷小，无穷大，极限运算法则教学目的：（1）了解无穷小概念及其与函数极限的关系（2） 了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系（3） 熟练掌握极限运算定理及其用法教学重点：无穷小的概念，极限四则运算教学难点：无穷小的概念，极限四则运算教学关键：极限四则运算的运用教学过程：一、无穷小与无穷大1、无穷小：定义1、如果函数当为当时的无穷小。如为无穷小如为无穷小说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关定理1、在自变量的同一变化过程中，函数具有极限A的充分必要条件是=A+，其中是无穷小。2、无穷大如果当时，无限
2、增大，则称函数是当时的无穷大量。定义2、设函数在的某一去心邻域有定义（或大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当时的无穷大。注意：无穷大与很大数的区别 3、 无穷小与无穷大的关系定理2：在同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小：反之，如果为无穷小，且，则为无穷大例：当时，为无穷小，为无穷大。说明：此定理只使用于同一变化过程。无穷大不是数，不可与很大的数混为一谈。例：下列函数在什么情况下为无穷小？在什么情况下为无穷大？1、 解：时为无穷小，在时为无穷大。2、 解：时为无穷小，为无穷大，为无穷大3、 解
3、：为无穷小，为无穷大。二、极限运算的法则：定理1、有限个无穷小的和也是无穷小定理2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1、常数与无穷小的乘积是无穷小推论2、有限个无穷小的乘积也是无穷小定理3、如果，那么（1）=AB（2）（3）若又有B，则推论1、如果存在，而c为常数，则推论2、如果存在，而n是正整数，则定理4设有数列、，如果那么：（1）（2）（3）当=定理5如果，而，那么 ab例1、一般地，设有多项式：则有：即：同理可得：例2、求分析：求有理函数（多项式）当时的极限时，直接把代入多项式即可此题直接代入为例3、求解：=例4、求解：先用除分母和分子，然后求极限，得结论：例5、求解：有界量与无穷小量的乘积任为无穷小量，所以原极限为0例6、解：故原极限为例7、例8、例9、求极限的类型主要有：例10、例11、定理6、复合函数的求导法则设函数是由函数复合而成的，的某去心邻域内有定义，若，且存在则徐屹第 1 页2006-10-12
