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1、非平稳信号分析与处理组长：讲课安排：第一小组：(1-4节)第二小组：（5-8节）2 时频表示与时频分布本章主要内容：讨论非平稳信号的时频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。时频表示与时频分析的提出分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的
2、Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变换。21 基本概念1传统的Fourier变换及反变换： S（f）=s（t）=2解析信号与基带信号定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analytic signal）z（t）定义为z（t）=s（t）+js（t），其中s（t）是s（t）的Hilb
3、ert变换。实函数的Hilbert变换的性质：若 x(t)= s(t) 则有 s(t)=- x（t） s(t)=- 2x（t） 实的调频信号a（t）cos对应的解析信号为z（t）=a（t）cos+ja（t）cos=A（t） （2.1）任何一个实调幅-调频信号a（t）cos的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。实窄带高频信号s（t）=a（t）cos2f0t+的解析信号为 z（t）=a（t） （2.2）将上式乘以，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称为基带信号 zB（t）= a（t）它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。高频
4、窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。3瞬时频率和群延迟 瞬时频率fi信号s（t）=a（t）cos 的瞬时频率定义为 可以看出它为解析信号的相位的导数。物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。群延迟g（f）频率信号的群延迟定义为 g（f）=物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。4不确定性原理对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=和频谱Z（f）的有限宽度B=分别称为该信号的时宽
5、和带宽，并定义为：T2= 和 B= 对信号z（t）沿时间轴做拉伸zk（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即；类似地，可求出拉伸信号的带宽是原信号带宽的,即。由此可见=常数，这一结论说明对任何信号恒有TB=常数的可能性。命题：（不确定性原理）对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式： 时宽-带宽乘积=TB=或TB=不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的t和f分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。22 短时Fourier变换线性时频表
6、示：满足叠加原理或线性原理，如： z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）Tz（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz2（t，f）1连续短时Fourier变换 定义： 给定一个时间宽度很短的窗函数（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为 STFTz（t，f）= （2.3） 可以看出，由于窗函数（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程 p（u）= （2.4） = = =z(u) =z(
7、u)显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件： =1 （2.5）才能使p(u)=z(u)。可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择： g(t)=(t) g(t)=(t) g(t)=1当取条件时，完全重构条件成为=1即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成： z(t)= （2.6）与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。以上讨论表明：短时Fourier变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFT（t,f），它在任一时刻t
8、的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。短时Fourier反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFT（t,f）恢复或综合得到原信号z(t)。2短时Fourier变换的基本性质 频移和时移特性： （2.7） （2.8）以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。 将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有 STFT（t，f）= （2.9）其中，谱窗是时间窗的Fourier变换。式（2.9）可以解释为信号通过频率响应为的滤波器输出乘以得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。将式（2.9）做变量代换：,可得S
9、TFT（t，f）= （2.10）式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。3窗函数g（t）的选择如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。如 g(t)= (t)和g(t)= 1即为两个极端的情况：当g(t)= (t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间分辨率。综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g（t）的宽度与信号的局域平稳长度相适应
10、。在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFT（t，f）能够有效地对应为信号z（t）在时频点（t，f）附近的“内容”。4离散短时Fourier变换对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为： =z(k)= 其中，T0和F0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。与（2.5）相对应的约束条件为：2.3 时频分布的一般理论1.信号的双线性变换和局部相关函数对非平稳信号进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。这种时间和频率的联合函数称为信号的时
11、频分布。类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系： （2.12）我们定义非平稳信号的双线性变换为 （2.13）上式中使用对称形的双线性变换更能表现出非平稳信号的某些重要性质。其中（t,）为沿t轴滑动的窗函数，同时沿加权，称为“局部相关函数”。对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即信号能量的时频分布： （2.14）这表明，时频分布也可用局部相关函数来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。取窗函数，则有 （2.15）称为瞬时相关函数。它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布： （2.16）Wigner-Ville分布是时频分布中最基本
12、的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。2 时频分布的基本性质要求对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布满足下面的一些基本性质。性质1：实的（且是非负的）。性质2：边缘特性 信号在频率的谱密度 信号在时刻的瞬时功率可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。性质3：时频分布关于时间和频率的积分应给出信号的总能量E，即 性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟，即 和 性质5：有限支撑特性如果信号只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某个频率区间取非零值，则称信号z（t）及其频谱是有限支撑的。相应地，如果在和的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。与此相对应，凡在信号和它的频谱等于零的各区域，时频分布等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”有限支撑的时频分布。边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。3时频分布的二次叠加原理线性时频表示满足
