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1、泰州市2015届高三第一次模拟考试数学试题与参考答案及评分标准A_ A参考公式：S2(x-x)2亠(x2-x)2亠 亠(人-x)2， x (石、x2亠 亠Xn).nn一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1 已知 A 二1, 3, 4 , B =3, 4, 5，则 A B =.答案:3, 42 函数f (x)二sin(3x冷)的最小正周期为.答案：2二；33 .复数z满足iz =3亠4i ( i是虚数单位)，贝U z =.答案：4 _3i ;4 函数f (x) mj2x -4的定义域为 .答案：2,-：:);注意：用不等式表示，错误，不给分.5 执行如右图所示的流程图，则输岀的n
2、为 .答案:4;6 若数据2，x，2，2的方差为0,则X =.答案：2 ;7 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为答案：1 ;注意：写成21算错，不给分；写成2也不给分.3C668 .等比数列an中，a, - 32a6 =0， 838485 =1，则数列的前 6项和为 .21 答案：- 21 ;4 2x sinx,x _0 口9 已知函数 f(x)二 2是奇函数，则 sin ：二 .x cos(xp), x：0答案：-1 ;提示：特殊值法，取 x=y(且口 a0,由 f(Y) =-(f)a，得-(皿)2+cos(+a) = -(。2+s in )=
3、 si na=-1.平时强调的重点方法啊！2 210双曲线=1 (a 0, b 0)的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率a be 二 .答案：5;3提示:双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于b ；则有：b =二 a2 +( )2 =c2 n 3c2 -2ac-5a2 =0n (3c-5a)(c+a) =0n e = C = 5 .2 2a 3平时强调的重点内容啊！11 若：、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为(写岀所有真命题的序号) 若直线m _ ，则在平面1内，一定不存在与直线 m平行的直线； 若直线m_：，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m
4、垂直； 若直线m二:；，则在平面一：内，不一定存在与直线 m垂直的直线； 若直线m二:，则在平面1内，一定存在与直线 m垂直的直线；答案：；提示：注意到两平面是相交的,m丄ot，若两个平面是互相垂直的，显然存在；故不一定存在； 注意到是垂直，m定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线； 与对立的，一定有一个是真命题；立体几何最重要的一个定理是“三垂线定理”；立柱、投影、作垂线即成是真命题.平时强调的重点内容啊！12已知实数a、b、c满足a2 b2 *，“，则占的取值范围为答案：，33；提示：类比猜想：“直角三角形”型；于是三角换元；令a=cco的，b=csig，因cO，为了确保能对应，取
5、：三0, 2 二，贝Ub _cs in:_ si n:a-2c ccos: - 2c cos: - 2明眼人一看，构造斜率即可；取点 P(cos 二,sin 二)，A(2, 0)，设直线的方程为：y =k(x-2) = kx y 2k =0 ；d =r ：=1 ： 4k2 =k2 1= k2 =: k =Jk2 +( = )233让点P绕圆转一周，即可知：k- 3,3 3 313在 ABC中，角 A B C所对的边分别为 a、b、c,若.B =/C且7a2 b2 c4.3AABC面积的最大值为答案：5 ；5提示：考虑到是等腰三角形的对称性，选面积公式为:S ABC1 1 2bcsi nAb s
6、in A ；2 2#再由余弦定理:b2 c2 a2 =2bccosA= 2b2 a2 = 2b2 cos A 二 a2 = 2b2 (1cos A)；由已知 7a2 - b2 c2 =4 3= 7a2 - 2b2 =4 3 ；消去 a，得：14b2(1 -cosA) 2b2 =4 3= b2则有：S.Abc1 2 33sin Asin A 2 8 -7cos A8 7cos A3 sin AcosA-82(3237(1 -cos A) 18 7cos A下求：f(A)二A (0,.)的最小值:A 8cosA7仍然用构造斜率法，取点P(cos A, si nA) , Q(； 0)；由AW(O,二
7、)知：点P的轨迹是x轴上方的半圆；f (A)取最小值时，刚好是相切;设直线方程为 y =k(x弓)二7kx_7y _8k =0 ；7158k222497 i-r rd 二：64k49k 49= k : k，则 f (A)m“J(7k)2 +G15帀故 S ABC | max()：山715514.在梯形 ABCD中，AB=2DC , BC =6 , P为梯形所在平面上一点，且满足AP+BP+4DP=0,DA CB = DA DP，Q为边AD上的一个动点，则PQ 的最小值为答案：提示：显然是坐标法；由于是填空题，可以再加上特殊值法；则四边形BMCD为平行四边形;将梯形特殊化为直角梯形，NB =90
8、;取M为AB的中点;由 DA CB = DA DP 二 DA DM = DA DP=da dm cos/ADM =da”dp=DM cos t - DP 二 Dp | AD ；故点P的轨迹是以D为圆心DA为半径的圆在梯形内部的弧;易知：M (6sin0)、 B(12sin v, 0)、 D(0, 6cos v)、C(6sin 6cos v);再设 P(x, y)，则 AP =(x y)、BP =(x_12siny)、DP =(x, y _6cosr);由 AP BP 4DP =0= (x x -12sin J 4x, y y 4y24cosv) = (0, 0);而 PQ勺最小值就是点 P的横
9、坐标；即6x=12sin日即x = 2sin日；2 2又6y-24cos0=0 即 y =4cos日，二有 + =1 (0, 0)； 416可见点P是椭圆与圆x2亠(y6cos)2 =(6cos)2的交点(在第一象限内)；1 先求 y :代入(2sin n)2 (4cos v - 6cosn)2 = (6cosnf 二 co ：9 从而 x =2sin 日=2 Jsin2 0 =28 二42 .93二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本题满分14分）在平面直角坐标系 xOy中，角:.的终边经过点 P（3, 4）;（1 ）求sin（：二）的值；（2）若P关于x轴的对称点为 Q，求OP
10、OQ的值.4解析：（1）v角的终边经过点P(3, 4),4 3 sin , cos:5 5、.42327sin(沱 )二sin .cos cos.篇sin2 .444525210(2)t P(3, 4)关于 x轴的对称点为 Q , Q(3, _4);，”，” OP(3, 4), OQ(3, -4) , OP OQ=3 3 4 (_4) - _7 . 4分7分9分14分16.(本题满分14分)如图在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是菱形， AC、BD相交于点 O , EF / AB , AB=2EF , 平面BCF _平面 ABCD , BF =CF，点G为BC的中点；(1) 求证：直线
11、 OG/平面EFCD ;(2) 求证：直线 AC 平面ODE .证明：(1)v四边形 ABCD是菱形，点O是BD的中点；点G为BC的中点， OG /CD , 又 OG 二平面 EFCD ,CD 平面 EFCD ,直线0G/平面EFCD(2)v BF =CF，点 G 为 BC 的中点， FG _BC ;平面 BCF _ 平面 ABCD，平面 BCF 平面 ABCD =BC , FG 平面 BCF , FG _ BC , FG _平面 ABCD ; ,9 分 AC 二平面 ABCD , FG _ AC ;1 1T OG AB, OG =?AB , EF/AB, E-AB , OG/EF , OG
12、= EF ;四边形 EFGO 为平行四边形， FG / EO ; ,11 分 FG _ AC , FG / EO , AC _ EO ;四边形 ABCD是菱形， AC_DO ; AC _ EO , AC _ DO ,(少一个垂直条件扣3分)EO DO =O , EO、DO在平面ODE内，(少一个条件扣 1分) AC _平面 ODE . ,14 分AC BD =0（此条件少写扣1 分）（不写扣3分1分）17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以 PQ为斜边的等腰直角 APRQ构成，其中0为PQ的中点；现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需
13、要，四边形 ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点 A B在半圆上，AB/CD/PQ，且AB、CD间的距离 为1 km ;设四边形 ABCD的周长为c km ；（1 ）若C、D分别为QR、PR的中点，求 AB的长；（2）求周长c的最大值. 解析：（1）连结RO并延长分别交 AB CD于M、N，连结0B ; C、D分别为QR、PR的中点，PQ =2，1 CD 二 PQ =1 ；2/ . PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边,111- ROPQ =1，NO R0221MN =1，MO ； ”213分（有MO二就得3分）223二 2 ；在 Rt BMO 中，B0 =1，二 BM = BO2 -0M AB =2BM6分（有 AB =2BM =打3就得3分）(2)解法 1:设.BOM -V , 0；在 Rt BMO 中，B0 =1， BM 二si nr，0M 二cosr ；2 MN =1， CN =RN =1_0N =0M 二cost， BC 二 AD= 1 (sin v-cosr)2，,
