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1、高等代数考试大纲I考试性质与目的本科插班生招生考试是由专科毕业生参加的选拔性考试，我院将 根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优 录取。考试应有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。II考试内容一、考试基本要求要求考生理解和掌握本学科的基本概念、定理、性质和方法，能 运用本学科的基础知识和基本方法进行判断、分析、计算和证明，具 备一定的分析、解决问题的能力。二、考核知识点和考核要求本大纲的考核要求分为“了解”、“理解”、“掌握与”、“应 用”四种水平：1、了解：对知识的涵义有感性的、初步的认识，能在相关问题 中正确地识别和表述。2、理解：对概念和定理、性质等规律达到
2、了理性认识，能知其 然，也能知其所以然，能理解有关概念和定理、性质与其他概念、规 律的联系，知其用途。3、掌握：在理解的基础上形成技能、方法，并用来解决一些问题。4、应用：能综合运用知识，达到灵活应用的程度。第一章 基本概念一、考核知识点1、集合：子集，集的相等，集合的交与并及其运算律，笛卡儿 积，代数运算。2、映射：映射，满射，单射，双射，映射的相等，映射的合成， 可逆映射，映射可逆的充要条件。3、数学归纳法 : 自然数的最小数原理, 第一数学归纳法, 第二 数学归纳法。4 、整数的一些整除性质。5 、数环和数域。二、考核要求1、认识：笛卡儿积，代数运算，整数的一些整除性质。2、理解：映射的
3、合成，可逆映射，映射可逆的充要条件，数环 和数域。3、掌握：集合的交与并及其运算律，映射，满射，单射，双射4、应用：第一数学归纳法。第二章 多项式一、考核知识点1 、一元多项式的定义、次数和多项式的运算2 、多项式的整除性：整除的基本性质，带余除法定理3 、多项式的最大公因式：最大公因式的定义，最大公因式的性 质，辗转相除法，多项式互素的概念，互素的性质。4 、多项式的唯一因式分解定理：不可约多项式概念，不可约多 项式性质，唯一因式分解定理，典型分解式。5 、多项式的重因式：多项式的重因式概念，多项式有重因式的 充要条件。6 、多项式函数与多项式的根：多项式函数的概念，余式定理， 综合除法，多
4、项式的根的概念，根与一次因式的关系，多项式根的个 数。7 、复数域和实数域上多项式：代数基本定理（不证明），复数 域和实数域上多项式的因式分解，根与系数的关系，实系数多项式虚 根成对。8 、有理数域上多项式的可约性及有理根：本原多项式的定义，Gauss引理，整系数多项式在有理数域上的可约性问题，Eisenstein 判别法，有理数域上多顶式的有理根。二、考核要求1、认识：多项式函数的概念与多项式的根，代数基本定理（不 证明）。2、理解：一元多项式的定义、次数和多项式的运算，多项式的 唯一因式分解定理，实系数多项式虚根成对，整系数多项式在有理数 域上的可约性问题，Eisenstein判别法，多项
5、式的重因式。3、掌握：多项式的整除性，多项式的最大公因式，有理数域上 多顶式的有理根求法.4、应用：带余除法定理，辗转相除法，余式定理，综合除法。第三章 行列式一、考核知识点1 、二阶和三阶行列式的结构2 、排列：排列的概念，反序数及排列的奇偶性，对换及其对排 列奇偶性的影响3、n阶行列式的定义和性质4 、行列式依行依列展开：余子式与代数余子式的概念，行列式依行依列展开，Vandermonde行列式，行列式的计算。5、Cramer 规贝H二、考核要求1、认识：排列的概念，反序数及排列的奇偶性，对换及其对排 列奇偶性的影响2、理解：余子式与代数余子式的概念，3、掌握：Vandermonde行列式
6、，n阶行列式的定义，4、应用：n阶行列式的性质，行列式依行依列展开，行列式的计算。第四章 线性方程组一、考核知识点1 、线性方程组的消元法：线性方程组的初等变换，系数矩阵 和增广矩阵，用消元法解线性方程组，方程组的一般解和自由未知量。2、矩阵的秩：k阶子式，矩阵秩的定义，初等变换不改变矩 阵的秩，用初等变换求矩阵的秩。3 、线性方程组有解的判别定理及解的个数定理。4 、齐次线性方程组：齐次线性方程组及其非零解的概念，齐次 线性方程组有非零解的充要条件。二、考核要求1、认识：系数矩阵和增广矩阵，方程组的一般解和自由未知量， k阶子式。2、理解：矩阵秩的定义，初等变换不改变矩阵的秩，3、掌握：线性
7、方程组有解的判别定理及解的个数定理。4、应用：用消元法解线性方程组，齐次线性方程组有非零解的 充要条件，用初等变换求矩阵的秩。第五章 矩阵一、考核知识点1 、矩阵的运算：矩阵的加法、数乘、乘法和转置，单位矩阵。2 、可逆矩阵：可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求 逆矩阵的公式，初等矩阵，初等矩阵与初等变换的关系，可逆矩阵的 判定，用初等变换求逆矩阵。3 、矩阵乘积的行列式与秩。4 、矩阵的分块：分块矩阵的加法、数乘及乘法，对角线分块矩 阵。二、考核要求1、认识：矩阵的分块。2、理解：初等矩阵，初等矩阵与初等变换的关系。3、掌握：矩阵乘积的行列式与秩。4、应用：矩阵的运算，可逆矩阵的定义、
8、性质、判定、计算。第六章 向量空间一、考核知识点1 、向量空间的定义及简单性质。2 、子空间 ：子空间的定义，子空间的判别，子空间的交与和。3 、向量组的线性相关性：线性相关与线性无关，替换定理及其 推论，等价的向量组及其性质，极大无关组及其性质。4 、基和维数 ：生成子空间，基和维数的定义，基的性质，维数公式。5 、子空间的直和。6 、坐标：坐标的定义，过渡矩阵，基变换公式， 坐标变换公 式。7 、向量空间的同构：同构映射的定义与性质，向量空间同构的 定义，向量空间同构的充要条件。8 、齐次线性方程组的解空间：矩阵的行（列）空间，齐次线性 方程组的基础解系。9 、非齐次线性方程组解的结构。二
9、、考核要求1、认识：子空间的定义、判别、交与和、直和，替换定理及其 推论，维数公式，向量空间的同构，矩阵的行（列）空间。2、理解：向量空间的定义及简单性质，等价的向量组及其性质， 生成子空间。3、掌握：极大无关组及其性质，基和维数的定义，基的性质， 坐标的定义，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，非齐次线性方 程组解的结构。4、应用：线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系。 第七章 线性变换一、考核知识点1 、线性映射：线性映射的定义及其简单性质，线性映射的像与 核。2 、线性变换的运算：线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性 变换及其逆变换。3 、线性变换和矩阵：线性变换的矩阵，向量的像
10、的坐标公式， 线性变换与矩阵的对应关系。4 、矩阵的相似：矩阵相似的定义，同一线性变换关于不同基的 矩阵之间的关系。5 、不变子空间。6 、本征值和本征向量：线性变换的本征值、本征向量，矩阵的 特征根、特征向量，线性变换及矩阵的特征多项式，线性变换的本征 子空间，矩阵的迹和行列式同特征根的关系，相似矩阵的特征多项式。8 、可对角化的矩阵：属于不同本征值的本征向量的线性无关性， 本征子空间的维数与所属本征值的重数关系，线性变换及矩阵可对角 化的条件，线性变换和矩阵的对角化。二、考核要求1、认识：线性映射的像与核，不变子空间，矩阵的迹和行列式 同特征根的关系。2、理解：矩阵的相似关系，同一线性变换
11、关于不同基的矩阵之 间的关系。属于不同本征值的本征向量的线性无关性，3、掌握：线性映射的定义及其简单性质，线性变换的运算，线 性变换与矩阵的关系，线性变换的本征值、本征向量，矩阵的特征根、 特征向量，线性变换及矩阵的特征多项式，4、应用：线性变换及矩阵可对角化的条件，线性变换和矩阵的 对角化。第八章 欧氏空间一、考核知识点1 、向量的内积：欧氏空间的定义及基本性质，向量的长度， CauchySchwarz 不等式，两个非零向量的夹角，向量的距离。2 、正交基：正交基，规范正交基，正交化方法，正交补，向量 与子空间的正交，向量到子空间的距离。3 、 正交矩阵。4 、同构的定义和同构的充要条件。5
12、 、正交变换：正交变换与正交矩阵的关系，一个线性变换是正 交变换的充要条件。6 、对称变换：对称变换的定义，对称变换与实对称矩阵的关系， 实对称矩阵的正交对角化。二、考核要求1、认识：正交补，向量与子空间的正交，向量到子空间的距离 同构的定义和同构的充要条件。2、理解：欧氏空间的定义及基本性质，向量的距离，正交基， 规范正交基。3、掌握：向量的长度，两个非零向量的夹角，正交变换与正交 矩阵的关系，一个线性变换是正交变换的充要条件，对称变换与实对 称矩阵的关系，实对称矩阵的正交对角化。4、应用：CauchySchwarz不等式，正交化方法。第九章 二次型一、考核知识点1 、二次型的矩阵表示：二次
13、型的定义，变量的非奇异线性变换，二次型的秩，二次型的化简，对称矩阵合同于对角矩阵。2 、复数域和实数域上二次型：复二次型等价的条件，实二次型 的典范形式， 惯性定律。4 、正定二次型的定义及充要条件：正定二次型的定义，正定矩 阵，实二次型正定的条件与判断。二、考核要求1、认识：变量的非奇异线性变换，二次型的化简，惯性定律。2、理解：二次型的秩，正定二次型、正定矩阵的定义，复二次 型等价的条件，实二次型的典范形式，3、掌握：二次型的矩阵表示，矩阵合同的定义，对称矩阵合同 于对角矩阵的判断、计算。4、应用：二次型正定的条件与判断。皿考试形式与试卷结构1、考试形式：考试为闭卷笔试，考试时间为120
14、分钟，试卷满 分为 100 分。2、各章占分比例：第一章5%，第二章15%，第三章 15%，第四 章 10%，第五章 20%，第六章 15%，第七章 10%，第八章 5%，第九章 5%。3、各认知水平占分比例：“认识”占 5%，“理解”占 15%，“掌 握”占 40%，“应用”占 40%。4、试题各难易程度占分比例：“易”占30%，“中”占50%， “难”占20%。5、考试题型及占分比例：选择题、填空题、判断题约占40%； 计算题、证明题约占60%。W参考书目命题指定参考书：高等代数张禾瑞、郝炳新编，高教出版社 1999年第四版。V题型示例一、填空题(每题 分，共 分)设匕巴,Zn为n维欧氏空
15、间V的一个基，V，若=0 ,i 二 I，n，则 0 二 二、 判断题(每题 分，共 分；在题后括号内，对的打“” 错的打“X”设A、B都是n阶方阵，A与B相似，则detA=detB()三、选择题(每题 分，共 分；将正确的选项序号填在题内 空格上)若 g(x) | f (x) ，且 g(x), f (x) 都不是零多项式，则下列正确的是：( )a).罗(f (x) Q( g (x)；c).6。( f (x) ao(g (x)四、计算题1(本题 分)求多项式4X4 -7X2 -5X-1的有理根，并写出这个多项式在Q上的 典型分解式五、证明题1(本题 分)设A、B都为n阶方阵，AB=A+B，证明：(1)A-I与B-I互为逆矩阵；(2)AB=BA
