毕 业 论 文欧式期权定价理论及其数值计算方法指导教师 学院名称理学院 专业名称统计学论文提交日期2010年5月 论文答辩日期2010年5月答辩委员会主席 ____________评 阅 人 ___ _______摘 要 随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究前人已经对欧式期权定价进行了很深入的研究，在1973年Fischer Black和Myron Scholes建立了看涨期权定价公式并因此获得诺贝尔学奖本文对欧式期权的定价的讨论主要在其定价模型和数值计算方法两个方面，探讨其理论知识和进行实例分析，并得出简单的结论 本文将从以下六个方面讨论第一：介绍问题的背景和意义，先前的研究成果以及本文框架；第二：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第三：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期、二期和多期的欧式期权定价公式；第四：研究Black-Scholes模型，通过求解Black-Scholes方程得到Black-Scholes公式，并探讨Black-Scholes模型和二项式模型的联系，即得到波动率，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的，和；第五：用数值计算方法求解欧式期权定价，分析了二叉树图法和有限差分法，有限差分方法又包括内含有限差分方法、外推有限差分方法及Crank-Nicolson差分方法。
两种数值方法都要求得到末期的期权值来推出初期的期权值，然后进行实例分析进行应用，并用计算机语言把数学内容表示出来，实现数学知识与计算机语言的结合第六：通过以上的内容得出一些结论本文的重心是基于对期权定价的模型和数值方法的探讨和分析，加以实例辅助突出其应用性，不足之处在于理论的突破性不大关键词 欧式期权定价 二项式模型 Black-Scholes模型 有限差分 二叉树图目 录1 前言 11.1 选题的背景和意义 11.2 前人的研究成果 21.3 论文的研究框架 32 期权基本理论 32.1 期权的相关术语 32.2 期权的损益与期权价格的界限 42.2.1 期权的损益 42.2.2 欧式期权价格的界限 53 二项式模型 63.1 二项期权定价模型介绍 63.2 欧式期权定价模型 73.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价 73.2.2 二期模型的欧式看涨期权定价 93.2.3 多期二项式期权定价公式 104 Black-Scholes模型 124.1 股票价格的行为模式 124.2 历史回顾 134.3 Black-Scholes方程 144.4 Black-Scholes公式(欧式看涨期权的定价) 154.5 二项式模型和Black-Scholes的模型的关系 175 欧式期权定价的数值方法 185.1 二项式模型的数值计算 185.1.1 二叉树图方法 185.1.2 实例分析 195.2 Black-Scholes公式(欧式期权定价)的数值计算 235.2.1 有限差分方法 235.2.2 实例分析 266 总结 286.1 本文结论 286.2 展望未来 30致 谢 31参 考 文 献 32Abstract 33附 录 34本科专业毕业论文成绩评定表 391 前言1.1 选题的背景和意义 期权交易的出现已达几个世纪之久。
在17世纪30年代的“荷兰郁金香热”时期，郁金香的一些品种堪称欧洲最为昂贵的稀世花卉1635年，那些珍贵品种的郁金香球茎供不应求，加上投机炒作，致使价格飞涨20倍，成为最早有记载的泡沫经济同时，这股投机狂潮却开启了期权交易的大门郁金香交易商向种植者收取一笔费用，授予种植者按约定最低价格向该交易商出售郁金香球茎的权利同时，郁金香交易商通过支付给种植者一定数额的费用，以获取以约定的最高价格购买球茎的权利这种交易对于降低郁金香交易商和种植者的风险十分有用 1973年4月，芝加哥期权交易所正式成立，标志着期权交易进入了标准化、规范化的全新发展阶段芝加哥期权交易所先后推出了股票的买权(Call Options)和卖权(Put Options)都取得了成功之后，美国商品期货交易委员会放松了对期权交易的限制，有意识地推出商品期权交易和金融期权交易1982年，作为试验计划的一部分，芝加哥期货交易所推出了长期国债期货的期权交易1983年1月，芝加哥商业交易所推出了S&P 500股票指数期权，随着股票指数期权交易的成功，各交易所将期权交易迅速扩展至其它利率外汇等金融品种上1984年到1986年间，芝加哥期货交易所先后推出了大豆、玉米和小麦等品种的期货期权。
除美国之外，全球有影响的期权市场还有欧洲期货交易所(Eurex)、伦敦国际金融期货期权交易所(Liffe)、香港交易所(Hkex)、韩国期货交易所(Kofex)等期权市场无论从品种上还是地域上都获得了长足的发展 2000年以来，全球期权交易发展更为迅猛美国期货业协会(Fututes Industry Association，FIA)的统计数据表明，2001年至2003年，全球期权的交易量连续超过了期货2003年全球期货与期权交易量为81亿手，其中期权51亿手，增长率为32％，期权市场呈现出良好的发展态势和前景2003年分资产的成交量统计表明，股指、利率、股票与农产品的期货与期权交易量排名靠前韩国的Kospi200指数期权合约以28亿手的全年成交量成为全球最活跃的合约韩国期货交易所亦凭此成为全球交易量最大的交易所 1973年4月，芝加哥交易所(CBOT)成立了一个新的交易所——芝加哥期权交易所，特别用来交易股票期权从此以后，期权交易在投资者当中日益普及美国股票交易所(AMEX)和费城股票交易所(PHLX)从1975年开始期权交易太平洋股票交易所(PSE)从1976年开始期权交易来到了80年代初期，期权交易规模越来越大，每日卖出的期权合约规定的标的股票总数超过了纽约股票交易所日交易量。
在80年代，美国期权合约已经扩展到了外汇期权、股票指数期权、期货期权等领域费城期权交易所主要从事外汇期权交易；芝加哥期权交易所交易S&P100和500的股票指数期权；美国股票交易所交易主要市场股票指数(Major Market Stock Index)期权；纽约股票交易所交易NYSE指数期权现在绝大部分提供期货合约交易的交易所也同时提供期货期权交易服务芝加哥交易所提供谷物期货期权交易；芝加哥商品交易所提供家畜期货期权交易服务期权交易所现在已经遍布全世界 改革开放三十年以来，中国同国际金融界的联系越来越密切，如何防范和化解金融风险已引起有关放面的高度重视自1995年始，中国期权市场发展仅有十余年的历史，但期权市场需求已相当成熟如何对期权风险进行有效的管理控制，已关系到期权开发能否从研究阶段过渡到试运行阶段然而，要对期权风险进行有效的管理和控制，首先就必须对期权进行合理的定价因此，对期权定价方法的研究更为重要了1.2 前人的研究成果 1900年法国金融专家Louis Bachelier就发表了第一篇关于期权定价的学位论文“Theorie de la Speculation”(投机交易理论)[1]，它被公认为是现代金融学的里程碑，他在论文中首次提出用随机游动思想给出股票价格运行的随机模型。
1964年Paul Samuelson对Louis Bachelier的模型进行了修正，以股票的回报代替原模型中的股票价格，他还研究了看涨期权的定价问题(C.Sprenkle(1965)和J.Baness(1964)也同样研究了这个问题)，但是他们都没有得出的具体的公式1973年Fischer Black和Myron Scholes发表了论文“The pricing of options and corporate liabilities”[2]，在文中他们建立了看涨期权定价公式，并与1997年获得了诺贝尔经济学奖1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“The valuation of options for alternative stochastic process”，提出了风险中性定价理论1979年，Cox，J.,S.Ross和M.Rubinstein在《金融经济学杂志》上发表论文“Option Pricing：A Simplified Approach”[3]，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。
1979年，Cox，J.,S.Ross和M.Rubinstein对二叉树图数值方法进行了介绍，采用倒退定价法对期权进行定价，同年Rendleman, R., and B. Bartter在“Two State Option Pricing,”也对二叉树法进行了一定的研究1977年，Phelim P. BOYLE发表论文”Options: A Monte Carlo approach”将蒙特卡罗模拟方法应用到求期权定价中同样是在1977年，Brennan，M.J.,and E.S.Schwarts发表了论文“The Valuation of American Put Options”首次将有限差分方法运用到期权的定价中，有限差分方法主要有内含的有限差分方法和外推的有限差分方法 本文主要基于对基础知识的研究和探讨，研究期权定价模型的二项式模型和Black-Scholes模型分析期权定价的数值方法：二叉树图法和有限差分方法，详细说明它们的计算方法和步骤，并进行实例分析，探讨方法的有效性和总结自己的结论1.3 论文的研究框架 整篇论文共分为6章，第一章是对整个论文体系的介绍，包括研究背景和意义和论文的框架两部分；第二章是对期权的相关知识和期权定价的性质进行阐述；第三章研究欧式期权定价模型的二项式模型；第四章主要研究Black-Scholes模型的发展和定价公式；第五章就重点分析欧式期权定价的两种数值方法：二叉树图方法和有限差分方法，然后举例进行实例分析；第六章对全文进行总结。
2 期权基本理论2.1 期权的相关术语 定义1.1：期权(Options)，又称选择权，是一份合约，持有合约的一方有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻(或此时刻之前)以合约中指定的价格购买或出售某种指定数量的特殊物品 这些物品大多为战略物资，如石油、小麦、有色金属等，也可以是某公司股票，可提前兑换的债权等期权有两种基本类型，看涨期权(call options)和看跌期权(put options) 定义2.2：看涨期权指期权合约中，一方有购买的权利，另一方有出售的义务，简称call 定义2.3：看跌期权指期权合约中，一方有出售的权利，另一方有购买的义务，简称put 定义2.4：执行价格(exercise price)，又称敲定价格就是期权合约规定的买卖基础资产的价格。