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1、 定点、定值、探索性问题 A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2017衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2y23相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k，求证：kk为定值【解析】 (1)因为EFF1的周长为8，所以4a8，所以a24，又椭圆C与圆x2y23相切，故b23，所以椭圆C的方程为1.(2)证明 由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为yk(x1)，设E(x1，y
2、1)，F(x2，y2)，将直线l的方程yk(x1)代入椭圆C的方程1，整理得(4k23)x28k2x4k2120，64k44(4k23)(4k212)0恒成立，且x1x2，x1x2.直线AE的方程为y(x2)，令x4，得点M，直线AF的方程为y(x2)令x4，得点N，所以点P的坐标为.所以直线PF2的斜率为k，将x1x2，x1x2代入上式得：k，所以kk为定值1.2(2015四川雅安重点中学1月月考)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个
3、定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，又斜边长为2，即2c2，故cb1，a，椭圆方程为y21.(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.由得故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)下面证明Q(0，1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明若直线l的斜率存在，设直线l：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(918k2)x212kx160，144k264(918k2)0，x1x2，x
4、1x2，(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)3(2017河南郑州二模)已知曲线C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线C过A，B两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两点，且OMON，求证：直线MN恒与一个定圆相切【解析】 (1)由题意可得解得m4，n1.所以曲线C的方程为y24x21.(2)证明 由题意得y4x1，y4x1，x1x2y1y20，原点O到直线MN的距离d .由x1x2y1y20得xxyy(14x)(14x)
5、14(xx)16xx，所以xx(xx)，所以d .所以直线MN恒与定圆x2y2相切B组专项能力提升(时间：30分钟)4(2017河南洛阳模拟)设M是焦距为2的椭圆E：1(ab0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：1(ab0)上点N(x0，y0)处的切线方程为1.若点P是直线x2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标【解析】 (1)设A(a，0)，B(a，0)，M(m，n)，则1，即n2b2.由k1k2，即，故，则a22b2，又c2a2b21，解得a2
6、2，b21.所以椭圆E的方程为y21.(2)证明 设点P(2，t)，切点C(x1，y1)，D(x2，y2)，则两切线PC，PD的方程分别为y1y1，y2y1.由于点P在切线PC，PD上，故P(2，t)满足y1y1，y2y1，得x1y1t1，x2y2t1，故C(x1，y1)，D(x2，y2)均满足方程xty1，即xty1为直线CD的方程令y0，得x1，故直线CD过定点(1，0)5(2017湖北黄冈二模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：y21的两个焦点，椭圆C2：y2经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的
7、斜率分别为k，k.(1)求证：kk为定值；(2)求|AB|CD|的最大值【解析】 (1)证明 因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(1，0)，F2(1，0)而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，.设点P的坐标是(x0，y0)，直线PF1和PF2的斜率分别是k，k(k0，k0)，kk，又点P是椭圆C2上的点，故y，联立两式可得kk，即kk为定值(2)直线PF1的方程可表示为yk(x1)(k0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组由方程组得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x
8、1x2|.同理可求得|CD|，则|AB|CD|4，当且仅当k时等号成立故|AB|CD|的最大值等于.6(2017东北师大附中联考)椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴、y轴上，它们有相同的离心率e，且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是2.(1)求椭圆C1与C2的方程；(2)设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F.求证：直线PA，PB的斜率之积为常数；直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，请说明理由【解析】 (1)依题意设C1：1，C2：1，由对称性知，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积S2b2b2，解得b21，椭圆C1：y21，C2：1.(2)由(1)知A(，0)，B(，0)证明 设P(x0，y0)，则1，kPA，kPB，kPAkPB2，即直线PA，PB的斜率之积为常数2.是常数设E(x1，y1)，则y1，kEA，kEB，kEAkEB，同理，kFAkFB，kEAkEBkFAkFB，由kEAkPA，kFBkPB，结合得kEAkFB.
