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1、对数学解题的初步认识龙城高级中学 蒋柏林摘要: 数学的真正组成部分是问题和解.对于职业数学工作者来说，“题”是研究的对象，“解”是研究的目标，解题是其数学活动的基本形式和主要内容，也是其自身的存在目的和兴奋中心.本文结合中学数学的基本知识对此做了初步的研究和讨论。 而对数学教学而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且也要把“解题活动”作为对象，把学会“数学地思维”、促进“人的发展”作为目标，这是我们今后数学教学的一个出发点。关键词:解题方法;解题策略;1对数学解题的基本认识1.1 数学解题的基本问题1.1.1作为数学教育的数学解题理论需要回答两个基本问题：怎样解题？怎样
2、学会解题？波利亚怎样解题一书直接提出了第个问题，也在努力回答第个问题。但我国传统数学教学既未直接提出这些问题，也未正面回答这些问题，表现为一种默会知识的内隐学习，或有意无意地将其简单化为“模仿练习十数学事实的接受”。1.1.2以上两个基本问题触及数学教育的3个基本矛盾：一是数学与教育的矛盾。数学教育学应是一门具有数学特征的教育学科，数学是前提，教育是本质；解释数学解题首先要有数学特点，区别于物理解题、化学解题、语文解题、历史解题；同时又要体现教育特点，有别于纯粹数学形式的运演并应进人心理层面。二是综合性与独立性的矛盾。数学教育学应是一门具有综合性的独立学科，数学解题广泛涉及数学教育观、数学知识
3、、心理活动、思维方法、计算机技术等，表现为多学科的交叉；同时又不是这些相关学科内容的简单相加，而是有机融合后相对独立的实体。三是实践性与理论性的矛盾。数学教育学应是一门具有实践性的理论学科，解题首先是一种实践活动。5波利亚说：“你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题。”1弗里德曼也说：“寻找解题不能教会，而只能靠自己学会。”2数学教学的最终成果之一，应使学生会解题。但是实践不能流于盲目或简单重复，需要理论来做指导。为什么学校里会有这么多的数学后进生？原因可能是多方面的，但与我们对数学解题的思维规律认识不清有关，与解题理论尚未完善或尚未发挥指导作用有关。1.1.3长期以来
4、，解题活动存在一些弊端。用现成的观点说明现成的例子，或用现成的例子说明现成的观点；长期徘徊在一招一式的归类上，缺少理论上的提高或实质性的突破，有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现；多说“这样解”，少说或不说“为什么这样解”；解题研究多停留在操作层面，未能深入到心理层面；更关注现成、形式化问题的求解，对问题的“提出”和“应用”研究不足。因此，尽管解题有丰富的资料积累（还曾获IMO和IAEP的双料冠军），而公认具有中国特色的数学解题理论尚待创建。1.2 数学解题的理论建设1.2.1要把解题理论建设为数学教育的一个独立分支，其标志应该是：有自己独立的研究对象。数学解题理论的研究对象可以
5、界定为“解题活动”，研究解题活动需要回答的基本问题是：怎样解题？怎样学会解题？有自己独立的研究方法。一方面要对数学解题实践进行经验归纳，在实证基础上提炼理论；另一方面要对教育心理学做理论演绎，改造为有数学特征的行动指南。数学和心理学应是数学解题理论的两大支柱，这两个学科研究方法的综合，应产生对解题过程进行专业分析的特有方法。有自己独立的概念体系和基本原理。解题研究已初步积累有趣、解题、解题过程、解题程序、解题力量、解题方法、解题策略、数学问题解决基本框架等成果，为理论建立奠定了基础。1.2.2建立解题理论对其建设者有较高的要求，基本素质包括：具备较宽厚的数学知识和较丰富的解题实践经验。具备数学
6、学习论的知识，掌握规范的心理学研究方法和工具，使得解题研究能够深人到心理层面。具有数学教学的实践经验，并与学生有经常接触和直接交流的环境。没有课堂基础和学生基础，解题理论只能是上不着天、下不着地的“空中楼阁”。2解题概念的初步界定2.1 解题解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题解的活动。小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等, 都叫做解题。数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题更多的是一个再创造或再发现的过程，解题教学的基本含义是，通过典
7、型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。波利亚在数学的发现序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”中国是一个解题大国，重视解题教学、擅于变式训练是中国数学教育的一个特色，已在国际数学舆林匹克竞赛（IMO）和相关国际比较测试（IAEP）中取得举世瞩目的成绩。但是，传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目。而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养。近年兴起的数学情景题、数学应用题、数学开放
8、题等正在改变中国解题教学的环境和格局。2.2 解题的一般过程解题过程是指人们寻找问题答案的活动，它包括从接触问题到完全解出的所有环节与每一步骤，经过规范化而成为可操作的解题过程就成为解题程序。2.2.1波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序，分成4步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。在每一步中都配有许多问句或提示，从而体现出模式识别、联系转化、特殊化与一般化、归纳、类比等思维策略的指导，舍恩费尔德又在“知识启发法”之外提出“调节”与“信念”。2.2.2国内一些相关研究也对“解题过程”进行了程序化的总结。 解题过程是在解题思想的指导下，运用合理的解题策略（或原则），制订科学的解题程序
9、，进行解题行动的思维过程；而解题行动主要是指从题目初始状态到最终状态的转化，这种转化的解题力量是基础理论与基本方法的运用；作为完整的解题过程还包括解法研究，如解后的回顾、反思以及自始至终的调控等，这是一个最容易被忽视的环节。6面对一个问题，我们首先审题，进行模式识别。如果有现成的模式，则直接给出解答，如果没有现成的模式，则运用解题策略，考虑阶梯问题（或辅助问题），有效就得出解答，无效再次回到审题。无论由何种情况得出解答，最后都有检验的步骤。7从信息论的观点探讨解题思维过程，可以从一个初中的例子得出说明。定理等腰三角形的两个底角相等。已知：如图1，在ABC中，ABAC。求证：. ABCACB图1
10、 三角形分析 欲证两角相等，根据所学知识，我们可以设想它们为全等三角形的对应角（全等法应用），再根据等腰三角形的特征，又可以将等腰三角形拿起来、作一个空中翻转，使其与原来的位置重合，从而与重合（这正是角相等的定义）。下来，只须将这一直觉思路用严密的数学语言表达出来（直觉发现、逻辑证明）。这里的心理过程，已经体现问题表征对解题方向的确定和解题效率的提高有着促进作用。证明：如图1，在与中，有AB=AC（己知），AC=AB（已知）, （公共角），（或BC=CB）（公共边），得（SAS或SSS），从而.从书写顺序看，这个定理的证明过程可以分成3步（解题过程的结构分析）：根据题意画出图形，根据图形写出己
11、知、求证。这是认识自己所面临的问题并对问题进行心理表征的过程。寻找解题思路，沟通已知与求证的联系。这调动了全等三角形的知识，数形结合地运用了直觉思维（空中翻转、图形重合、角重合）。这实际上是应用解题策略，并进行资源的提取与分配的过程。给出证明。用到了三角形全等的判定定理与性质定理，这是一个严格的推理论证过程。这个分析表明，数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用。从信息论的观点分析此定理的证明过程，则是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构（如图2所示）。 从记忆网络中提取有关信息等式的对称性SAS(
12、或SSS)全等三角形的对应角相等形象信息A=A(或BC=CB)形象信息可拆成ABC与ABCAB=ACAC =AB AB从理解题意中捕捉有用信息符号信息C=B图2 定理证明的逻辑结构 可见，数学解题的思维过程是一个“三位一体”的工作：（1)有用捕捉。即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么？结论是什么？各有几个？如何建立条件与结论之间的逻辑联系？由图2可见，通过理解题意找出了3条信息，一条是符号信息AB=AC，由题目直接告诉我们；另两条是由图形显示出来的：两个三角形（与），公共角（或公共边BC=CB）。知识经验是有用捕捉的基础。(2)有关提取。即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想
13、而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法。由图2可见，从记忆网络中检索出了3条信息：等式的对称性，全等三角形的判别定理，全等三角形的性质定理。良好的认知结构和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础。(3)有效组合。将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构。逻辑思维能力是有效组合的基础。本例中6条信息的组织，详细过程如图2，简洁过程为“证明”的书写。其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌2.3 解题方法这里说的解题方法，是指中学阶段用于解答数学题的方法。此处将其分为3类，即具有创立学科功能的方法，体现一般思维规律的方法，具体进行论证演算的方法。2.3.1具有创立学科功能的方法。如公
14、理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等。在具体解题中，具有统率全局的作用。2.3.2而对较复杂的分数应用题，题型广博，变化多端。在教学中，我们应适当地教给学生一些解题方法，以拓宽思路，提高解题能力。（1）从确定对应入手找出解题方法 分数应用题中有一个“量率对应”的明显特点，对一个单位“1 ”来说，每个分率都对应着一个具体的数量，而每一个具体的数量，也同样对应着一个分率，因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。我们要引导学生学会和掌握“明确对应，找准对应分率”的解题方法。 例：小冬看一本故事书，第一天看了总页数的1/6，第二天看了总页数的1/3，还剩7
15、8页没有看，这本故事书共有多少页？ 把这本故事书的总页数看作单位“1”， 要求这本故事书共有多少页，就要求出剩下的78页的对应分率。根据已知条件，第一、二天看了总页数的（1/61/3），还剩下78页的对应分率是（11/61/3），求这本故事书共有多少页，就是已知单位“1”的（11/61/3）是78页，求单位“1”。于是列式为： 78（11/61/3）156（页） （2）通过统一标准量找出解题方法 在一道分数应用题中，如果出现了几个分率，而且这些分率的标准量不同，量的性质相异，在解题时，必须以题中的某一个量为标准量，将其余量的对应分率统一到这个标准量上来，才可列式解答。 例：果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵数的1/3等于梨树的4/9，问这两种果树各有多少棵？ 题中的1/3是以苹果树为标准量，4/9是以梨树为标准量，解题时必须统一成一个标准量。 若以苹果树为单位“1”，则有11/3梨树4/9，那么梨树就相当于单位“1”的1/34/9，两种果树的总棵数就相当于单位“1”的（11/34/9），于是列式为： 420（11/34/9）240（棵）苹果树 240
