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1、课时跟踪检测（十八） 题型研究“函数与导数”大题常考的3类题型1设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求实数a的取值范围解：(1)f(x)(12xx2)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)令g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1)，令x0，可得g(0)0.g(x)(1x22x)exa，令h(x)(1x22x)exa，则h(x)(x24x1)ex，当x0时，h(x)0，h(x)在0，)上单调递减，故h(x)h(0)1a，
2、即g(x)1a，要使f(x)ax10在x0时恒成立，需要1a0，即a1，此时g(x)g(0)0，故a1.综上所述，实数a的取值范围是1，)2(2019重庆调研)设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x1，令f(x)0，得x(负值舍去)，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，.(2)令f(x)x2axln x0，得ax.令g(x)x，其中x，则g(x)1，令g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0；当10，
3、g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3，g(x)ming(1)1，函数f(x)在上有两个零点，g3ln 3，g(3)3，3ln 33，实数a的取值范围是.3已知函数f(x)(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x1，)，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，当a时，x22x2a0，f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增当a时，令x22x2a0，解得x11，x21.函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)(2)f(x)112ax2ex，由条件知，2ax2ex对x1恒成立令g(x)x2ex，h(x)g(x)2xex，h
4、(x)2ex.当x1，)时，h(x)2ex2e0，h(x)g(x)2xex在1，)上单调递减，h(x)2xex2e0，即g(x)1在1，)上恒成立，则需2ag(x)max1e，a，即实数a的取值范围是.4(2019广西柳州模拟)已知a为实数，函数f(x)aln xx24x.(1)若x3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的取值；(2)设g(x)(a2)x，若x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x4.x3是函数f(x)的一个极值点，f(3)0，解得a6.经检验a6时，x3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意，a6.(2)由f
5、(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F(x)1时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a.记G(x)，x，G(x).x，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x时，G(x)0，G(x)单调递增G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数a的取值范围为1，)5(2019武汉调研)已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明f(x).解：(1)f(x)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x
6、)在(a，)上单调递增；若0xa，则f(x)0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)，只需证ln a1，即证ln a10.令函数g(a)ln a1，则g(a)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).6(2019唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x，a0.(1)若f(x)0，求a的取值范围；(2)若f(x1)f(x2)，且x1x2，证明：x1x22a.解：(1)f(x)x(x0)当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增当xa时，f(x)取最小值f(a)a2a2ln a.令a2a2ln a0，解得0a.故a的取值范围是(0，(2)证明：由(1)知，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，不失一般性，设0x1ax22a，则2ax22a，即x12ax2，则只需证f(x1)f(2ax2)因为f(x1)f(x2)，则只需证f(x2)f(2ax2)设g(x)f(x)f(2ax)，ax2a.则g(x)x2ax0，所以g(x)在a,2a)上单调递减，从而g(x)g(a)0.又ax22a，于是g(x2)f(x2)f(2ax2)0，即f(x2)2a.5
