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1、课时跟踪检测(十八) 题型研究“函数与导数”大题常考的3类题型1设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax1,求实数a的取值范围解:(1)f(x)(12xx2)ex,令f(x)0,得x1,当x(,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.所以f(x)在(,1),(1,)上单调递减,在(1,1)上单调递增(2)令g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1),令x0,可得g(0)0.g(x)(1x22x)exa,令h(x)(1x22x)exa,则h(x)(x24x1)ex,当x0时,h(x)0,h(x)在0,)上单调递减,故h(x)h(0)1a,
2、即g(x)1a,要使f(x)ax10在x0时恒成立,需要1a0,即a1,此时g(x)g(0)0,故a1.综上所述,实数a的取值范围是1,)2(2019重庆调研)设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在上有两个零点,求实数a的取值范围解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),当a1时,f(x)2x1,令f(x)0,得x(负值舍去),当0x0;当x时,f(x)0.f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,.(2)令f(x)x2axln x0,得ax.令g(x)x,其中x,则g(x)1,令g(x)0,得x1,当x1时,g(x)0;当10,
3、g(x)的单调递减区间为,单调递增区间为(1,3,g(x)ming(1)1,函数f(x)在上有两个零点,g3ln 3,g(3)3,3ln 33,实数a的取值范围是.3已知函数f(x)(aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x1,),不等式f(x)1恒成立,求实数a的取值范围解:(1)f(x),当a时,x22x2a0,f(x)0,函数f(x)在(,)上单调递增当a时,令x22x2a0,解得x11,x21.函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(1,),单调递减区间为(1,1)(2)f(x)112ax2ex,由条件知,2ax2ex对x1恒成立令g(x)x2ex,h(x)g(x)2xex,h
4、(x)2ex.当x1,)时,h(x)2ex2e0,h(x)g(x)2xex在1,)上单调递减,h(x)2xex2e0,即g(x)1在1,)上恒成立,则需2ag(x)max1e,a,即实数a的取值范围是.4(2019广西柳州模拟)已知a为实数,函数f(x)aln xx24x.(1)若x3是函数f(x)的一个极值点,求实数a的取值;(2)设g(x)(a2)x,若x0,使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)2x4.x3是函数f(x)的一个极值点,f(3)0,解得a6.经检验a6时,x3是函数f(x)的一个极小值点,符合题意,a6.(2)由f
5、(x0)g(x0),得(x0ln x0)ax2x0,记F(x)xln x(x0),F(x)(x0),当0x1时,F(x)1时,F(x)0,F(x)单调递增F(x)F(1)10,a.记G(x),x,G(x).x,22ln x2(1ln x)0,x2ln x20,x时,G(x)0,G(x)单调递增G(x)minG(1)1,aG(x)min1.故实数a的取值范围为1,)5(2019武汉调研)已知函数f(x)ln x,aR.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a0时,证明f(x).解:(1)f(x)(x0)当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增当a0时,若xa,则f(x)0,函数f(x
6、)在(a,)上单调递增;若0xa,则f(x)0时,f(x)minf(a)ln a1.要证f(x),只需证ln a1,即证ln a10.令函数g(a)ln a1,则g(a)(a0),当0a1时,g(a)1时,g(a)0,所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立,所以f(x).6(2019唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x,a0.(1)若f(x)0,求a的取值范围;(2)若f(x1)f(x2),且x1x2,证明:x1x22a.解:(1)f(x)x(x0)当x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增当xa时,f(x)取最小值f(a)a2a2ln a.令a2a2ln a0,解得0a.故a的取值范围是(0,(2)证明:由(1)知,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增,不失一般性,设0x1ax22a,则2ax22a,即x12ax2,则只需证f(x1)f(2ax2)因为f(x1)f(x2),则只需证f(x2)f(2ax2)设g(x)f(x)f(2ax),ax2a.则g(x)x2ax0,所以g(x)在a,2a)上单调递减,从而g(x)g(a)0.又ax22a,于是g(x2)f(x2)f(2ax2)0,即f(x2)2a.5